Équation cinétique de Landau

Summarize Timeline Top Qs Fact Check

Soit ${\displaystyle f(v,t)}$ une fonction de distribution à particule unique. L'équation est la suivante :

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}=B{\frac {\partial }{\partial v_{i}}}\left(\int _{\mathbb {R^{3}} }dw{\frac {(u^{2}\delta _{ij}-u_{i}u_{j})}{u^{3}}}\left({\frac {\partial }{\partial v_{j}}}-{\frac {\partial }{\partial w_{j}}}\right)f(v)f(w)\right)}$

avec ${\displaystyle u=v-w}$

Le membre de droite de l'équation est connu sous le nom d'intégrale de collision de Landau (en parallèle à l'intégrale de collision de Boltzmann). Le facteur ${\displaystyle B}$ est obtenu en intégrant sur le potentiel intermoléculaire ${\displaystyle U(r)}$ :

${\displaystyle B={\frac {1}{8\pi }}\int _{0}^{\infty }dr\,r^{3}{\hat {U}}(r)^{2}}$

${\displaystyle {\hat {U}}(|k|)=\int _{\mathbb {R^{3}} }dx\,U(|x|)e^{ikx}}$

Pour de nombreux potentiels intermoléculaires (notamment les lois de puissance où ${\displaystyle U(r)\propto {\frac {1}{r^{n}}}}$), l'expression de ${\displaystyle B}$ est divergente. La solution de Landau à ce problème est d'introduire des seuils aux petits et grands angles.

L'équation est principalement utilisée en mécanique statistique et en physique des particules pour modéliser le plasma. À ce titre, elle a été utilisée pour modéliser et étudier le plasma dans les réacteurs thermonucléaires^[4],[5],[6]. Elle a également été utilisée dans la modélisation de la matière active^[7].

L'équation et ses propriétés ont été étudiées en profondeur par Alexander Bobylev^[8].

Summarize Timeline Fact Check

La première dérivation a été donnée dans l'article original de Landau^[1]. L'idée approximative pour la dérivation est la suivante:

En considérant un gaz spatialement homogène de particules ponctuelles et de masse unitaire décrite par ${\displaystyle f(v,t)}$, on peut définir un potentiel corrigé pour les interactions de Coulomb, ${\textstyle {\hat {U_{ij}}}=U_{ij}\exp \left({\frac {-r_{ij}}{r_{D}}}\right)}$, avec ${\displaystyle U_{ij}}$ le potentiel de Coulomb (${\textstyle U_{ij}={\frac {e_{i}e_{j}}{|x_{i}-x_{j}|}}}$), et ${\displaystyle r_{D}}$ le rayon de Debye. Le potentiel ${\displaystyle {\hat {U_{ij}}}}$ est ensuite inséré dans l'intégrale de collision de Boltzmann (le terme de collision de l'équation de Boltzmann ) et résolu pour le terme asymptotique principal vers la limite ${\displaystyle r_{D}\rightarrow \infty }$.

En 1946, la première dérivation formelle de l'équation de la hiérarchie BBGKY a été publiée par Nikolay Bogolyubov^[9].

Summarize Timeline Top Qs Fact Check

En 1957, l'équation a été dérivée indépendamment par Marshall Rosenbluth^[10]. En résolvant l'équation de Fokker-Planck sous une force inverse carrée, on peut obtenir :

${\displaystyle {\frac {1}{4\pi L}}{\frac {\partial f_{i}}{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial v_{\alpha }}}\left(-f_{i}{\frac {\partial h_{i}}{\partial v_{\alpha }}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial v_{\beta }}}\left(f_{i}{\frac {\partial ^{2}g_{i}}{\partial v_{\alpha }\partial v_{\beta }}}\right)\right)}$

où ${\displaystyle h_{i},g_{i}}$ sont les potentiels de Rosenbluth :

${\displaystyle h_{i}=\sum _{j=1}^{n}K_{ij}\int dw{\frac {f_{i}(w,t)}{|v-w|}}}$

${\displaystyle g_{i}=\sum _{j=1}^{n}K_{ij}{\frac {m_{j}}{m_{i}}}\int dw{\frac {f_{i}(w,t)}{|v-w|}}}$

pour ${\displaystyle K_{ij}={\frac {e_{i}^{2}e_{j}^{2}}{m_{i}m_{j}}},\;i=1,2,...,n}$. La représentation Fokker-Planck de l'équation est principalement utilisée pour sa commodité dans la modélisation numérique et les calculs.