Équation de Kuramoto–Sivashinsky
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L'équation de Kuramoto–Sivashinsky est une équation aux dérivées partielles non linéaire du quatrième ordre modélisant l'instabilité thermo-diffusive dans un front de flamme laminaire. Son nom vient de Yoshiki Kuramoto et Gregori Sivachinski qui ont dérivé l'équation à la fin des années 1970[1],[2],[3]. Elle a été ultérieurement et indépendamment dérivée par G. M. Homsy[4] et A. A. Nepomnyashchii[5] en 1974, en relation avec la stabilité du film liquide sur un plan incliné et par R. E. LaQuey et al.[6] en 1975 en relation avec l'instabilité des ions piégés. L'équation de Kuramoto–Sivashinsky est connue pour son comportement chaotique[7],[8].
La version unidimensionnelle de l'équation de Kuramoto–Sivashinsky est :
Elle s'écrit également sous une autre forme :
Celle-ci obtenue en différenciant par rapport à et en substituant . Il s'agit de la forme utilisée dans les applications de dynamique des fluides[9].
L'équation de Kuramoto–Sivashinsky peut également être généralisée à des dimensions supérieures. Dans les domaines périodiques spatialement, une possibilité est :
où est l'opérateur de Laplace et est l'opérateur biharmonique.
Propriétés
Le problème de Cauchy pour l'équation de Kuramoto–Sivashinsky 1D est un problème bien posé au sens de Hadamard, c'est-à-dire que pour des données initiales données , il existe une solution unique qui dépend continuement des données initiales[10].
L'équation 1D de Kuramoto–Sivashinsky possède une invariance galiléenne, c'est-à-dire que si est une solution, alors l'est aussi, où est une constante arbitraire[11]. Physiquement, puisque est une vitesse, ce changement de variable décrit une transformation en un référentiel qui se déplace avec une vitesse relative constante . Dans un domaine périodique, l'équation possède aussi une symétrie plane : si est une solution, alors est aussi une solution[11].
Solutions
Les solutions de l'équation de Kuramoto-Sivashinsky possèdent de riches caractéristiques dynamiques[11],[12],[13]. Considérée sur un domaine périodique , la dynamique subit une série de bifurcations à mesure que la taille du domaine augmente, aboutissant à l'apparition d'un comportement chaotique. Selon la valeur de , les solutions peuvent inclure des équilibres, des équilibres relatifs et des ondes progressives, qui deviennent généralement tous dynamiquement instables à mesure que augmente. En particulier, la transition vers le chaos se produit par une cascade de bifurcations à doublement de période[13].
