Équation de Liouville – Bratu – Gelfand

En deux dimensions et en coordonnées cartésiennes ${\displaystyle (x,y)}$ Joseph Liouville a proposé en 1853 la solution suivante^[5] :

${\displaystyle \lambda e^{\psi }(u^{2}+v^{2}+1)^{2}=2\left[\left({\frac {\partial u}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u}{\partial y}}\right)^{2}\right]}$

où ${\displaystyle f(z)=u+iv}$ est une fonction analytique arbitraire avec ${\displaystyle z=x+iy}$.

En 1915, G. W. Walker^[6] a trouvé une solution en supposant une forme pour ${\displaystyle f(z)}$. Si on définit la quantité ${\displaystyle r}$ par ${\displaystyle r^{2}=x^{2}+y^{2}}$, alors la solution de Walker est :

${\displaystyle 8e^{-\psi }=\lambda \left[\left({\frac {r}{a}}\right)^{n}+\left({\frac {a}{r}}\right)^{n}\right]^{2}}$

où ${\displaystyle a}$ est un rayon fini. Cette solution décroît à l'infini pour tout ${\displaystyle n}$ mais devient infinie à l'origine pour ${\displaystyle n<1}$. Elle est finie à l'origine pour ${\displaystyle n=1}$ et s'annule pour ${\displaystyle n>1}$. Walker a également proposé deux autres solutions dans son article de 1915.

Si le système à étudier est à symétrie radiale, alors l'équation en dimension ${\displaystyle n}$ devient^[7] :

${\displaystyle \psi ''+{\frac {n-1}{r}}\psi '+\lambda e^{\psi }=0}$

où ${\displaystyle r}$ est la distance par rapport à l'origine. Avec les conditions aux limites ${\displaystyle \psi '(0)=0}$ et pour ${\displaystyle \lambda \geq 0}$ une solution réelle n'existe que pour ${\displaystyle \lambda \in [0,\lambda _{c}]}$, où ${\displaystyle \lambda _{c}}$ est le paramètre critique appelé paramètre de Frank-Kamenetskii. Le paramètre critique est ${\displaystyle \lambda _{c}=0,8785}$ pour ${\displaystyle n=1}$, ${\displaystyle \lambda _{c}=2}$ pour ${\displaystyle n=2}$ et ${\displaystyle \lambda _{c}=3.32}$ pour ${\displaystyle n=3}$. Pour ${\displaystyle n=1}$ ou ${\displaystyle 2}$ deux solutions existent et pour ${\displaystyle 3\leq n\leq 9}$ il existe une infinité de solutions oscillant autour du point ${\displaystyle \lambda =2(n-2)}$. Pour ${\displaystyle n\geq 10}$ la solution est unique et le paramètre critique est donné par ${\displaystyle \lambda _{c}=2(n-2)}$. La multiplicité de solutions pour ${\displaystyle n=3}$ a été découverte par Israel Gelfand en 1963 et plus tard généralisée pour tout ${\displaystyle n}$ par Daniel D. Joseph et Thomas S. Lundgren en 1973^[8].

• La solution pour ${\displaystyle n=1}$ qui est valide dans la plage ${\displaystyle \lambda \in [0,0.8785]}$ est donnée par :

${\displaystyle \psi =-2\ln \left[e^{-\psi _{m}/2}\cosh \left({\frac {\sqrt {\lambda }}{\sqrt {2}}}e^{-\psi _{m}/2}r\right)\right]}$

où ${\displaystyle \psi _{m}=\psi (0)}$ est lié à ${\displaystyle \lambda }$ par :

${\displaystyle e^{\psi _{m}/2}=\cosh \left({\frac {\sqrt {\lambda }}{\sqrt {2}}}e^{-\psi _{m}/2}\right)}$

• La solution pour ${\displaystyle n=2}$ qui est valide dans la plage ${\displaystyle \lambda \in [0,2]}$ est donné par

${\displaystyle \psi =\ln \left[{\frac {64e^{\psi _{m}}}{(\lambda e^{\psi _{m}}r^{2}+8)^{2}}}\right]}$

où ${\displaystyle \psi _{m}=\psi (0)}$ est lié à ${\displaystyle \lambda }$ par :

${\displaystyle (\lambda e^{\psi _{m}}+8)^{2}-64e^{\psi _{m}}=0}$

• Il n'existe pas de solution analytique pour ${\displaystyle n=3}$.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Liouville–Bratu–Gelfand equation » (voir la liste des auteurs).

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