Équation de Scorer

On définit

${\displaystyle {\vec {u}}={\vec {u}}_{0}+{\vec {u}}'}$

comme étant la somme de la vitesse du vent hors perturbation et de la perturbation du vecteur vitesse.

On définit de la même manière la masse volumique, la pression et la température hors perturbation et leurs perturbations respectives.

${\displaystyle \rho =\rho _{0}+\rho ',\,p=p_{0}+p',\,T=T_{0}+T'}$

L'équation de conservation de la masse s'écrit :

${\displaystyle {\vec {\nabla }}(\rho {\vec {u}})={\partial (\rho u) \over \partial x}+{\partial (\rho w) \over \partial z}=0}$

On obtient donc :

${\displaystyle u{\partial \rho \over \partial x}+\rho {\partial u \over \partial x}+w{\partial \rho \over \partial z}+\rho {\partial w \over \partial z}=0}$

On suppose que u₀ et ρ₀ ne dépendent que de z. On obtient alors :

${\displaystyle u{\partial \rho ' \over \partial x}+\rho {\partial u' \over \partial x}+w'{\partial \rho \over \partial z}+\rho {\partial w' \over \partial z}=0}$

On note que w₀ est nul.

On supprime les termes de second ordre dans cette équation et l'on obtient alors :

${\displaystyle u_{0}{\partial \rho ' \over \partial x}+\rho _{0}{\partial u' \over \partial x}+w'{\partial \rho _{0} \over \partial z}+\rho _{0}{\partial w' \over \partial z}=0}$

On peut remplacer les dérivées partielles en z :

${\displaystyle u_{0}{\partial \rho ' \over \partial x}+\rho _{0}{\partial u' \over \partial x}+w'{d\rho _{0} \over dz}+\rho _{0}{\partial w' \over \partial z}=0}$

On utilise maintenant l'équation des gaz parfaits :

${\displaystyle p=\rho (c_{p}-c_{v})T}$

On définit ${\displaystyle R=c_{p}-c_{v}}$. On différencie :

${\displaystyle {dp \over dt}={d\rho \over dt}RT+\rho R{dT \over dt}}$

Le mouvement de la parcelle d'air est adiabatique :

${\displaystyle T\alpha \rho ^{\gamma -1}}$

où ${\displaystyle \gamma ={c_{p} \over c_{v}}={7 \over 5}}$

Donc,

${\displaystyle {dT \over dt}={T \over \rho }(\gamma -1){d\rho \over dt}}$

En remplaçant, on obtient :

${\displaystyle {\begin{aligned}{dp \over dt}={d\rho \over dt}RT+\rho R{T \over \rho }(\gamma -1){d\rho \over dt}&={d\rho \over dt}RT(1+\gamma -1)\\&={d\rho \over dt}RT{c_{p} \over c_{v}}\end{aligned}}}$

On définit la vitesse du son adiabatique :

${\displaystyle c^{2}=\gamma RT}$

On obtient donc :

${\displaystyle {dp \over dt}=c^{2}{d\rho \over dt}}$

On développe l'équation suivante en termes d'advection :

${\displaystyle {\partial p \over \partial t}+({\vec {u}}\cdot {\vec {\nabla }})p=c^{2}\left[{\partial \rho \over \partial t}+({\vec {u}}\cdot {\vec {\nabla }})\rho \right]}$

On est en régime stationnaire :

${\displaystyle ({\vec {u}}\cdot {\vec {\nabla }})p=c^{2}({\vec {u}}\cdot {\vec {\nabla }})\rho }$

Donc,

${\displaystyle u{\partial p \over \partial x}+w{\partial p \over \partial z}=c^{2}\left(u{\partial \rho \over \partial x}+w{\partial \rho \over \partial z}\right)}$

On rappelle que p₀ et ρ₀ ne dépendent que de z. À nouveau, on linéarise et supprime les termes de second ordre :

${\displaystyle u_{0}{\partial p' \over \partial x}+w'{\partial p_{0} \over \partial z}=c^{2}\left(u_{0}{\partial \rho ' \over \partial x}+w'{\partial \rho _{0} \over \partial z}\right)}$

On peut remplacer la dérivée partielle en z :

${\displaystyle u_{0}{\partial p' \over \partial x}+w'{dp_{0} \over dz}=c^{2}\left(u_{0}{\partial \rho ' \over \partial x}+w'{d\rho _{0} \over dz}\right)}$

On linéarise à nouveau :

${\displaystyle u_{0}{\partial p' \over \partial x}+w'{dp_{0} \over dz}=c_{0}^{2}\left(u_{0}{\partial \rho ' \over \partial x}+w'{d\rho _{0} \over dz}\right)}$

On obtient donc :

${\displaystyle c_{0}^{2}u_{0}{\partial \rho ' \over \partial x}=u_{0}{\partial p' \over \partial x}+w'{dp_{0} \over dz}-w'c_{0}^{2}{d\rho _{0} \over dz}}$

Ainsi,

${\displaystyle {u_{0} \over \rho _{0}}{\partial \rho ' \over \partial x}={u_{0} \over \rho _{0}c_{0}^{2}}{\partial p' \over \partial x}+w'{1 \over \rho _{0}c_{0}^{2}}{dp_{0} \over dz}-w'{1 \over \rho _{0}}{d\rho _{0} \over dz}}$

La dérivée partielle de p' correspond aux ondes acoustiques. On peut donc ignorer ce terme :

${\displaystyle {u_{0} \over \rho _{0}}{\partial \rho ' \over \partial x}=w'\left({1 \over \rho _{0}c_{0}^{2}}{dp_{0} \over dz}-{1 \over \rho _{0}}{d\rho _{0} \over dz}\right)}$

On rappelle que

${\displaystyle {dp_{0} \over dz}=-\rho _{0}g}$

et donc,

${\displaystyle {u_{0} \over \rho _{0}}{\partial \rho ' \over \partial x}=w'\left(-{g \over c_{0}^{2}}-{1 \over \rho _{0}}{d\rho _{0} \over dz}\right)}$

Or

${\displaystyle -{1 \over \rho _{0}}{d\rho _{0} \over dz}-{g \over c_{0}^{2}}={1 \over \theta _{0}}{d\theta _{0} \over dz}}$

où θ₀ est la température potentielle.

On définit la fréquence de Brunt-Väisälä comme étant :

${\displaystyle N^{2}={g \over \theta _{0}}{d\theta _{0} \over dz}}$

Donc,

${\displaystyle {u_{0} \over \rho _{0}}{\partial \rho ' \over \partial x}=w'{N^{2} \over g}}$

On reprend l'équation de conservation de la masse :

${\displaystyle {\partial u' \over \partial x}+{\partial w' \over \partial z}+w'{1 \over \rho _{0}}{d\rho _{0} \over dz}+{u_{0} \over \rho _{0}}{\partial \rho ' \over \partial x}=0}$

On remplace :

${\displaystyle {\partial u' \over \partial x}+{\partial w' \over \partial z}+w'{1 \over \rho _{0}}{d\rho _{0} \over dz}+w'{N^{2}u_{0} \over g}=0}$

Finalement :

${\displaystyle {\partial u' \over \partial x}+{\partial w' \over \partial z}={g \over c_{0}^{2}}w'}$

L'équation de conservation de la quantité de mouvement s'écrit :

${\displaystyle {d{\vec {u}} \over dt}=-{1 \over \rho }{\vec {\nabla }}p-g{\vec {k}}}$

On obtient en étendant la dérivée :

${\displaystyle {\partial {\vec {u}} \over \partial t}+({\vec {u}}\cdot {\vec {\nabla }}){\vec {u}}=-{1 \over \rho }{\vec {\nabla }}p-g{\vec {k}}}$

On est en conditions stationnaires ${\displaystyle {\partial {\vec {u}} \over \partial t}={\vec {0}}}$. Donc :

${\displaystyle ({\vec {u}}\cdot {\vec {\nabla }}){\vec {u}}=-{1 \over \rho }{\vec {\nabla }}p}$

On développe :

${\displaystyle \left(u{\partial \over \partial x}+w{\partial \over \partial z}\right){\vec {u}}=-{1 \over \rho }\left({\partial p \over \partial x}{\vec {i}}+{\partial p \over \partial z}{\vec {k}}\right)-g{\vec {k}}}$

On rappelle que w₀ est nul. Donc,

${\displaystyle (u_{0}+u'){\partial ({\vec {u}}_{0}+{\vec {u}}') \over \partial x}+w'{\partial ({\vec {u_{0}}}+{\vec {u}}') \over \partial z}=-{1 \over \rho }\left({\partial (p_{0}+p') \over \partial x}{\vec {i}}+{\partial (p_{0}+p') \over \partial z}{\vec {k}}\right)-g{\vec {k}}}$

On rappelle que ${\displaystyle {\vec {u_{0}}}}$ et p₀ ne dépendent que de z. Donc,

${\displaystyle (u_{0}+u'){\partial {\vec {u}}' \over \partial x}+w'{\partial ({\vec {u}}_{0}+{\vec {u}}') \over \partial z}=-{1 \over \rho }\left({\partial p' \over \partial x}{\vec {i}}+{\partial (p_{0}+p') \over \partial z}{\vec {k}}\right)-g{\vec {k}}}$

On linéarise et on supprime les termes de second ordre. Donc,

${\displaystyle u_{0}{\partial {\vec {u}}' \over \partial x}+w'{\partial {\vec {u}}_{0} \over \partial z}=-{1 \over \rho }{\partial p' \over \partial x}{\vec {i}}-{1 \over \rho }{\partial p_{0} \over \partial z}{\vec {k}}-{1 \over \rho }{\partial p' \over \partial z}{\vec {k}}-g{\vec {k}}}$

On remplace les dérivées partielles en z :

${\displaystyle u_{0}{\partial {\vec {u}}' \over \partial x}+w'{d{\vec {u}}_{0} \over dz}=-{1 \over \rho }{\partial p' \over \partial x}{\vec {i}}-{1 \over \rho }{dp_{0} \over dz}{\vec {k}}-{1 \over \rho }{\partial p' \over \partial z}{\vec {k}}-g{\vec {k}}}$

On multiplie par ρ :

${\displaystyle \rho u_{0}{\partial {\vec {u}}' \over \partial x}+\rho w'{d{\vec {u}}_{0} \over dz}=-{\partial p' \over \partial x}{\vec {i}}-{dp_{0} \over dz}{\vec {k}}-{\partial p' \over \partial z}{\vec {k}}-g\rho {\vec {k}}}$

On projette suivant ${\displaystyle {\vec {i}}}$  :

${\displaystyle \rho u_{0}{\partial u' \over \partial x}+\rho w'{du_{0} \over dz}=-{\partial p' \over \partial x}}$

On linéarise à nouveau :

${\displaystyle \rho _{0}u_{0}{\partial u' \over \partial x}+\rho _{0}w'{du_{0} \over dz}=-{\partial p' \over \partial x}}$

On peut éliminer u'  :

${\displaystyle \rho _{0}u_{0}\left(-{\partial w' \over \partial z}+{g \over c_{0}^{2}}w'\right)+\rho _{0}w'{du_{0} \over dz}=-{\partial p' \over \partial x}}$

On projette suivant ${\displaystyle {\vec {k}}}$ :

${\displaystyle \rho u_{0}{\partial w' \over \partial x}=-{dp_{0} \over dz}-{\partial p' \over \partial z}-\rho g=-{dp_{0} \over dz}-{\partial p' \over \partial z}-(\rho _{0}+\rho ')g}$

On note que :

${\displaystyle {dp_{0} \over dz}=-\rho _{0}g}$

Donc,

${\displaystyle \rho u_{0}{\partial w' \over \partial x}=-{\partial p' \over \partial z}-\rho 'g}$

On linéarise à nouveau :

${\displaystyle \rho _{0}u_{0}{\partial w' \over \partial x}=-{\partial p' \over \partial z}-\rho 'g}$

On rappelle que :

${\displaystyle -{\partial p' \over \partial x}=\rho _{0}u_{0}\left(-{\partial w' \over \partial z}+{g \over c_{0}^{2}}w'\right)+\rho _{0}w'{du_{0} \over dz}}$

et aussi

${\displaystyle -{\partial p' \over \partial z}=\rho _{0}u_{0}{\partial w' \over \partial x}+\rho 'g}$

On élimine p en différenciant ces deux équations :

${\displaystyle {\begin{aligned}-{\partial ^{2}p' \over \partial x\partial z}&=-{d(\rho _{0}u_{0}) \over dz}{\partial w' \over \partial z}-\rho _{0}u_{0}{\partial ^{2}w' \over \partial z^{2}}+{d(u_{0}\rho _{0}) \over dz}{g \over c_{0}^{2}}w'+{u_{0}\rho _{0}g \over c_{0}^{2}}{\partial w' \over \partial z}+{d \over dz}\left(\rho _{0}{du_{0} \over dz}\right)w'+\rho _{0}{du_{0} \over dz}{\partial w' \over \partial z}\\&=-{d\rho _{0} \over dz}u_{0}{\partial w' \over \partial z}-\rho _{0}u_{0}{\partial ^{2}w' \over \partial z^{2}}+{d(u_{0}\rho _{0}) \over dz}{g \over c_{0}^{2}}w'+{u_{0}\rho _{0}g \over c_{0}^{2}}{\partial w' \over \partial z}+{d \over dz}\left(\rho _{0}{du_{0} \over dz}\right)w'\end{aligned}}}$

On néglige les phénomènes de compressibilité et l'on considère que ${\displaystyle c_{0}\approx \infty }$.

${\displaystyle -{\partial ^{2}p' \over \partial x\partial z}=-{d\rho _{0} \over dz}u_{0}{\partial w' \over \partial z}-\rho _{0}u_{0}{\partial ^{2}w' \over \partial z^{2}}+{d \over dz}\left(\rho _{0}{du_{0} \over dz}\right)w'}$

On développe un peu plus :

${\displaystyle -{\partial ^{2}p' \over \partial x\partial z}=-{d\rho _{0} \over dz}u_{0}{\partial w' \over \partial z}-\rho _{0}u_{0}{\partial ^{2}w' \over \partial z^{2}}+{d\rho _{0} \over dz}{du_{0} \over dz}+\rho _{0}{d^{2}u_{0} \over dz^{2}}w'}$

On utilise la loi des gaz parfaits :

${\displaystyle p_{0}=\rho _{0}RT_{0}\,\Leftrightarrow \,\rho _{0}={p_{0} \over RT_{0}}}$

Donc,

${\displaystyle {d\rho _{0} \over dz}={1 \over RT_{0}}{dp_{0} \over dz}-{dT_{0} \over dz}{p_{0} \over RT_{0}^{2}}}$

Donc,

${\displaystyle {d\rho _{0} \over dz}={\rho _{0}g \over RT_{0}}-{dT_{0} \over dz}{p_{0} \over RT_{0}^{2}}}$

On rappelle que ${\displaystyle c_{0}^{2}=\gamma RT}$ et le fluide est supposé être incompressible :

${\displaystyle {d\rho _{0} \over dz}\approx 0}$

On obtient donc finalement :

${\displaystyle -{\partial ^{2}p' \over \partial x\partial z}=-\rho _{0}u_{0}{\partial ^{2}w' \over \partial z^{2}}+\rho _{0}{d^{2}u_{0} \over dz^{2}}w'}$

On considère la deuxième équation :

${\displaystyle -{\partial ^{2}p' \over \partial z\partial x}={\partial \rho _{0}u_{0} \over \partial x}{\partial w' \over \partial x}+rho_{0}u_{0}{\partial ^{2}w' \over \partial x^{2}}+{\partial \rho ' \over \partial z}g}$

Sachant que ρ₀ et u₀ ne dépendent que de z :

${\displaystyle -{\partial ^{2}p' \over \partial z\partial x}=\rho _{0}u_{0}{\partial ^{2}w' \over \partial x^{2}}+{\partial \rho ' \over \partial z}g}$

On rappelle que :

${\displaystyle {u_{0} \over \rho _{0}}{\partial \rho ' \over \partial x}=w'{N^{2} \over g}}$

Donc,

${\displaystyle -{\partial ^{2}p' \over \partial z\partial x}=\rho _{0}u_{0}{\partial ^{2}w' \over \partial x^{2}}+g{N^{2}\rho _{0} \over gu_{0}}w'=\rho _{0}u_{0}{\partial ^{2}w' \over \partial x^{2}}+{N^{2}\rho _{0} \over u_{0}}w'}$

On écrit que :

${\displaystyle -{\partial ^{2}p' \over \partial z\partial x}=-{\partial ^{2}p' \over \partial x\partial z}}$

Donc,

${\displaystyle \rho _{0}u_{0}{\partial ^{2}w' \over \partial x^{2}}+{N^{2}\rho _{0} \over u_{0}}w'=-\rho _{0}u_{0}{\partial ^{2}w' \over \partial z^{2}}+\rho _{0}{d^{2}u_{0} \over dz^{2}}w'=-{\partial ^{2}w' \over \partial z^{2}}+{1 \over u_{0}}{d^{2}u_{0} \over dz^{2}}w'}$

Finalement, l'on obtient la formule de Scorer :

${\displaystyle {\partial ^{2}w' \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}w' \over \partial z^{2}}+\left({N^{2} \over u_{0}^{2}}w'-{1 \over u_{0}}{d^{2}u_{0} \over dz^{2}}\right)w'}$

On définit le paramètre de Scorer par :

${\displaystyle \ell ^{2}={N^{2} \over {u_{0}}^{2}}-{1 \over u_{0}}{d^{2}u_{0} \over dz^{2}}}$

Finalement l'équation de Scorer s'écrit :

${\displaystyle {\partial ^{2}w' \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}w' \over \partial z^{2}}+\ell ^{2}w'=0}$

Cette équation est linéaire en w' = w et peut être résolue analytiquement dans de nombreux cas.

La condition aux limites s'écrit donc^[11] :

${\displaystyle w(x,h(x))=(u_{0}+u'){\mathrm {d} h(x) \over \mathrm {d} x}}$

On effectue un développement limité :

${\displaystyle w(x,0)+{\partial w \over \partial z}h(x)=(u_{0}+u'){\mathrm {d} h(x) \over \mathrm {d} x}}$

On utilise l'équation de continuité :

${\displaystyle {\partial (u_{0}+u') \over \partial x}+{\partial w \over \partial z}=0}$

On note que u_0 ne dépend que de z :

${\displaystyle {\partial u' \over \partial x}+{\partial w \over \partial z}=0}$

En substituant, on obtient donc :

${\displaystyle w(x,0)-{\partial u' \over \partial x}h(x)=(u_{0}+u'){\mathrm {d} h(x) \over \mathrm {d} x}}$

La quantité ${\displaystyle u'h(x)}$ est une quantité du second ordre. On obtient alors :

${\displaystyle -{\partial u' \over \partial x}h(x)\approx u'{\mathrm {d} h(x) \over \mathrm {d} x}}$

On obtient donc la condition aux limites suivante :

${\displaystyle w(x,0)=u_{0}{\mathrm {d} h(x) \over \mathrm {d} x}}$

On définit : ${\displaystyle h(x)=\sin(kx)}$

Ainsi, $${\displaystyle w(x,0)=u_{0}h_{0}k\cos(kx)}$$

On définit ${\displaystyle k=2\pi /L}$. On peut donc écrire :

${\displaystyle w(x,z)=\sum _{n\geq 1}a_{n}(z)\left(\cos(nkx)+b_{n}(z)\sin(nkx)\right)}$.

L'équation de Scorer devient alors :

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}\left({\mathrm {d} ^{2}a_{n}(z) \over \mathrm {d} z^{2}}\cos(nkx)+{\mathrm {d} ^{2}b_{n}(z) \over dz^{2}}\sin(nkx)-k^{2}[a_{n}(z)\cos(kx)+b_{n}(z)\sin(nkx)]+\ell ^{2}[a_{n}(z)\cos(nkx)+b_{n}(z)\sin(nkx)]\right)=0}$

Les fonctions cosinus et sinus sont linéairement indépendantes. On obtient donc les équations différentielles suivantes :

$${\displaystyle {\mathrm {d} ^{2}a_{n}(z) \over dz^{2}}+(\ell ^{2}-k^{2})a_{n}(z)=0,\quad {\mathrm {d} ^{2}b_{n}(z) \over dz^{2}}+(\ell ^{2}-k^{2})b_{n}(z)=0}$$

La forme de la solution dépend des valeurs de k et ${\displaystyle \ell }$.

Si la stabilité de l'atmosphère est neutre, on a en première approximation ${\displaystyle \ell =0}$.

Comme il a été dit plus haut, ce cas est assez courant. On a alors:

${\displaystyle a_{n}(z)=\alpha _{n}\mathrm {e} ^{-{\sqrt {k^{2}-\ell ^{2}}}z}+\alpha '_{n}\mathrm {e} ^{{\sqrt {k^{2}-\ell ^{2}}}z}}$

Le second terme de la somme est non physique et donc est éliminé. Il en est de même pour b(z). On a donc :

${\displaystyle a_{n}(z)=\alpha _{n}\mathrm {e} ^{-{\sqrt {k^{2}-\ell ^{2}}}z}\qquad b_{n}(z)=\beta _{n}\mathrm {e} ^{-{\sqrt {k^{2}-\ell ^{2}}}z}}$

On a donc :

${\displaystyle w(x,z)=\left[\sum _{n\geq 1}\left(\alpha _{n}\cos(nkx)+\beta _{n}\sin(nkx)\right)\right]\mathrm {e} ^{-{\sqrt {k^{2}-\ell ^{2}}}z}}$

On applique la condition aux limites discutée ci-dessus.

On a donc à z = 0

${\displaystyle u_{0}h_{0}k\cos(kx)=w(x,0)=\left[\sum _{n\geq 1}\left(\alpha _{n}\cos(nkx)+\beta _{n}\sin(nkx)\right)\right]e^{-{\sqrt {k^{2}-\ell ^{2}}}0}}$

Donc,

${\displaystyle u_{0}h_{0}k\cos(kx)=\left[\sum _{n\geq 1}\left(\alpha _{n}\cos(nkx)+\beta _{n}\sin(nkx)\right)\right]\times 1}$

Les fonctions sinus et cosinus sont linéairement indépendantes. Le seul terme non nul est α₁. Donc,

${\displaystyle w(x,z)=h_{0}k\cos(kx)\mathrm {e} ^{-{\sqrt {k^{2}-\ell ^{2}}}z}}$

On écrit :

${\displaystyle w(x,z)=\sum _{n\geq 1}a_{n}(z)\cos(nkx)+\sum _{n\geq 1}b_{n}(z)\sin(nkx)}$

On rappelle que :

${\displaystyle {\mathrm {d} ^{2}a_{n}(z) \over \mathrm {d} z^{2}}+(\ell ^{2}-k^{2})a_{n}(z)=0}$

${\displaystyle {\mathrm {d} ^{2}b_{n}(z) \over \mathrm {d} z^{2}}+(\ell ^{2}-k^{2})b_{n}(z)=0}$

On a alors :

${\displaystyle a_{n}(z)=\alpha _{n}\cos[{\sqrt {\ell ^{2}-k^{2}}}z]+\alpha '_{n}\sin[{\sqrt {\ell ^{2}-k^{2}}}z]}$

De même,

${\displaystyle b_{n}(z)=\beta _{n}\cos[{\sqrt {\ell ^{2}-k^{2}}}z]+\beta '_{n}\sin[{\sqrt {\ell ^{2}-k^{2}}}z]}$

Dans ce cas, on a :

${\displaystyle w(x,z)=\sum _{n\geq 1}\left[\alpha _{n}\cos[{\sqrt {\ell ^{2}-k^{2}}}z]+\alpha '_{n}\sin[{\sqrt {\ell ^{2}-k^{2}}}z]\right]\cos(nkx)+\sum _{n\geq 1}\left[\beta _{n}\cos[{\sqrt {\ell ^{2}-k^{2}}}z]+\beta '_{n}\sin[{\sqrt {\ell ^{2}-k^{2}}}z]\right]\sin(nkx)}$

On exprime les conditions aux limites au niveau du sol et l'on a donc :

${\displaystyle u_{0}h_{0}k\cos(kx)=w(x,0)=\sum _{n\geq 1}\left[\alpha _{n}\cos[{\sqrt {\ell ^{2}-k^{2}}}0]+\alpha '_{n}\sin[{\sqrt {\ell ^{2}-k^{2}}}0]\right]\cos(nkx)+\sum _{n\geq 1}\left[\beta _{n}\cos[{\sqrt {\ell ^{2}-k^{2}}}0]+\beta '_{n}\sin[{\sqrt {\ell ^{2}-k^{2}}}0]\right]\sin(nkx)=\sum _{n\geq 1}\left[\alpha _{n}\times 1+\alpha '_{n}\times 0\right]\cos(nkx)+\sum _{n\geq 1}\left[\beta _{n}\times 1+\beta '_{n}\times 0]\right]\sin(nkx)=\sum _{n\geq 1}\alpha _{n}\cos(nkx)+\sum _{n\geq 1}\beta _{n}\sin(nkx)}$

On obtient donc pour ${\displaystyle n\geq 2}$:

${\displaystyle \alpha _{n}=\beta _{n}=\alpha '_{n}=\beta '_{n}=0}$

On peut maintenant reformuler la vitesse verticale en utilisant les formules trigonométriques :

${\displaystyle w(x,z)=A\cos \left[kx+{\sqrt {\ell ^{2}-k^{2}}}z\right]+B\cos \left[kx-{\sqrt {\ell ^{2}-k^{2}}}z\right]+C\sin \left[kx+{\sqrt {\ell ^{2}-k^{2}}}z\right]+D\sin \left[kx-{\sqrt {\ell ^{2}-k^{2}}}z\right]}$

On considère maintenant la condition limite en z = 0. On a donc :

${\displaystyle u_{0}h_{0}k\cos(kx)=A\cos \left[kx+{\sqrt {\ell ^{2}-k^{2}}}0\right]+B\cos \left[kx-{\sqrt {\ell ^{2}-k^{2}}}0\right]+C\sin \left[kx+{\sqrt {\ell ^{2}-k^{2}}}0\right]+D\sin \left[kx-{\sqrt {\ell ^{2}-k^{2}}}0\right]}$

Donc,

${\displaystyle u_{0}h_{0}k\cos(kx)=A\cos(kx)+B\cos(kx)+C\sin(kx)+D\sin(kx)}$

On obtient donc ${\displaystyle A+B=u_{0}h_{0}k}$ et ${\displaystyle C+D=0}$.

À cause de la friction, les ondes penchent en amont du flot^[12].

Finalement :

${\displaystyle w(x,z)=u_{0}h_{0}k\cos \left[kx+{\sqrt {\ell ^{2}-k^{2}}}z\right]}$

L'équation différentielle s'écrit :

${\displaystyle {\partial ^{2}w \over \partial z^{2}}+(\ell ^{2}-\xi ^{2})w=0}$

On considère ${\displaystyle \xi >\ell }$.

La solution est alors :

${\displaystyle w(\xi ,z)=\alpha (\xi )\mathrm {e} ^{{\sqrt {\xi ^{2}-\ell ^{2}}}z}+\beta (\xi )\mathrm {e} ^{{\sqrt {\xi ^{2}-\ell ^{2}-\xi ^{2}}}z}}$

Le premier terme est non physique et donc, l'on a:

${\displaystyle {\hat {w}}(\xi ,z)=\beta \mathrm {e} ^{-{\sqrt {\xi ^{2}-\ell ^{2}-\xi ^{2}}}z}}$

On considère ${\displaystyle \xi <\ell }$.

La solution est alors :

${\displaystyle {\hat {w}}(\xi ,z)=\gamma \mathrm {e} ^{\mathrm {i} {\sqrt {\ell ^{2}-\xi ^{2}}}z}+\delta \mathrm {e} ^{-\mathrm {i} {\sqrt {\ell ^{2}-\xi ^{2}}}z}}$

La condition aux limites s'exprime par :

${\displaystyle w(x,0)=u_{0}h'(x)}$

Exprimée dans l'espace de Fourier, cette condition aux limites s'exprime comme suit :

${\displaystyle {\hat {w}}(\xi ,0)=u_{0}{\hat {h}}'(\xi )}$

On rappelle que :

${\displaystyle {\hat {h}}(\xi )=h_{m}a\mathrm {e} ^{\mathrm {i} a\xi },\,{\hat {h}}'(\xi )=h_{m}ai\xi \mathrm {e} ^{\mathrm {i} a\xi }}$

On obtient donc dans le cas ${\displaystyle \xi >\ell }$

${\displaystyle {\hat {h}}(\xi )\mathrm {i} \xi =w(\xi ,0)=\beta (\xi )\mathrm {e} ^{{\sqrt {\xi ^{2}-\ell ^{2}}}0}=\beta (\xi )}$

Donc,

${\displaystyle {\hat {w}}(\xi ,z)={\hat {h}}(\xi )\mathrm {i} \xi \mathrm {e} ^{{\sqrt {\xi ^{2}-\ell ^{2}}}z}}$

Dans le cas ${\displaystyle \xi <\ell }$

On a :

${\displaystyle {\hat {h}}(\xi )i\xi =w(\xi ,0)=\gamma \mathrm {e} ^{\mathrm {i} {\sqrt {\ell ^{2}-\xi ^{2}}}0}+\delta e^{-i{\sqrt {\ell ^{2}-\xi ^{2}}}0}=\gamma +\delta }$

On a donc

${\displaystyle \gamma ={\hat {h}}(\xi )i\xi -\delta }$

Donc,

${\displaystyle {\hat {w}}(\xi ,z)={\hat {h}}(\xi )\mathrm {i} \xi \mathrm {e} ^{\mathrm {i} a\xi +\mathrm {i} {\sqrt {\xi ^{2}-\ell ^{2}}}z}+\delta \left(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} {\sqrt {\xi ^{2}-\ell ^{2}}}z}-\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} {\sqrt {\xi ^{2}-\ell ^{2}}}z}\right)}$

On élimine le deuxième terme car non physique. Donc,

${\displaystyle {\hat {w}}(\xi ,z)={\hat {h}}(\xi )\mathrm {i} \xi \mathrm {e} ^{\mathrm {i} {\sqrt {\xi ^{2}-\ell ^{2}}}z}}$

On rappelle que

${\displaystyle w=u_{0}{\partial \eta \over \partial x}}$.

Donc,

${\displaystyle {\hat {w}}=u_{0}\mathrm {i} \xi {\hat {\eta }}}$

On obtient donc :

${\displaystyle {\hat {\eta }}(\xi ,z)={\hat {h}}(\xi )\mathrm {e} ^{-{\sqrt {\xi ^{2}-\ell ^{2}}}z}}$ pour ${\displaystyle \xi \geq \ell }$

${\displaystyle {\hat {\eta }}(\xi ,z)={\hat {h}}(\xi )\mathrm {e} ^{\mathrm {i} {\sqrt {\ell ^{2}-\xi ^{2}}}z}}$ pour ${\displaystyle \xi \leq \ell }$

On effectue la transformation de Fourier inverse et l'on obtient donc :

${\displaystyle \eta (x,z)=\int _{0}^{\infty }{\hat {\eta }}(\xi ,z)\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \xi x}\mathrm {d} \xi }$

Donc en développant, on obtient :

${\displaystyle \eta (x,z)=\int _{0}^{\ell }{\hat {\eta }}(\xi ,z)\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \xi x}\mathrm {d} \xi +\int _{\ell }^{\infty }{\hat {\eta }}(\xi ,z)\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \xi x}\mathrm {d} \xi =\int _{0}^{\ell }{\hat {h}}(\xi )\mathrm {e} ^{\mathrm {i} {\sqrt {\ell ^{2}-\xi ^{2}}}z}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \xi x}\mathrm {d} \xi +\int _{\ell }^{\infty }{\hat {h}}\mathrm {e} ^{-{\sqrt {\xi ^{2}-\ell ^{2}}}z}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \xi x}\mathrm {d} \xi }$