Équation de coagulation de Smoluchowski

Si l'on assimile les particules coagulantes à leur volume et si l'on considère que deux particules de volumes respectifs v et v' ont une probabilité K(v,v') de fusionner pour donner une particule de volume v+v', un bilan de matière continu permet d'obtenir l'équation intégro-différentielle sur la densité numérique n(v,x, t)^[2]

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}{\frac {\mathrm {d} n(v,x,t)}{\mathrm {d} t}}&=&{\frac {\partial n(v,x,t)}{\partial t}}+\mathbf {V} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}n(v,x,t)\\[0.6em]&=&{\frac {1}{2}}\int _{0}^{v}K(v-v',v')n(v-v',x,t)n(v',x,t)\,{\rm {d}}v'\\[0.6em]&&-\int _{0}^{\infty }K(v,v')n(v,x,t)n(v',x,t)\,{\rm {d}}v'+S(v,x,t)\end{array}}}$

où

${\displaystyle \mathbf {V} }$		est la vitesse de déplacement des particules dans le milieu,
${\displaystyle S(v,x,t)}$		un éventuel terme source provenant de la création ou de la modification des particules à partir du gaz environnant.

Le nombre total de particules par unité de volume est obtenu par intégration

${\displaystyle N(x,t)=\int _{0}^{\infty }n(v,x,t)\mathrm {d} v}$

Il suit une équation analogue à celle de n(v,x, t).