3人の子供の年齢のパズル

72の素因数は2, 2, 2, 3, 3である。言い換えると 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = 72 となる。

これより、次の表のような解の候補となる三つ組が得られる。

子供Xの年齢	子供Yの年齢	子供Zの年齢	総和
1	1	72	74
1	2	36	39
1	3	24	28
1	4	18	23
1	6	12	19
1	8	9	18
2	2	18	22
2	3	12	17
2	4	9	15
2	6	6	14
3	3	8	14
3	4	6	13

国勢調査員は和を知っていながら、答を出すのに十分な情報が足りないと言った。よって和がその値であるような組が複数なければいけない。そのような唯一の三つ組のペアは、

A. 2 + 6 + 6 = 14

B. 3 + 3 + 8 = 14

ケースAのとき「最年長の子」は存在しないから（6歳の子の片方は、数分早く生まれているかもしれないし、9から12か月ほど早く生まれているかもしれないが）、最年長の子がいると知った調査員は正しい解がケースBであると結論付けられたのだとわかる^[2]。

36の素因数は2, 2, 3, 3なので、可能な三つ組は

子供Xの年齢	子供Yの年齢	子供Zの年齢	総和
1	1	36	38
1	2	18	21
1	3	12	16
1	4	9	14
1	6	6	13
2	2	9	13
2	3	6	11
3	3	4	10

同じ論法で、門の番号は13、子供の年齢は9歳、2歳、2歳であることがわかる^[4]。

ここでは積 ${\displaystyle P}$ が72と36の場合について述べたが、他の自然数であっても問題を成り立たせる（一意的な解が存在するようにする）ことはできる。例えば、${\displaystyle P=51597}$ を積とするような自然数の三つ組は48通りあるが、それらのうち和も一致するようなものは (13,63,63)と(21,27,91)、(7,63,117)と(13,27,147)、(1,189,273)と(9,13,441) の3ペアである。よって問題の解は (21歳,27歳,91歳) と定まる。

このような ${\displaystyle P}$ を小さいほうから並べると 36,72,225,288,… となり、この数列は無限に続く。なぜなら、${\displaystyle P_{0}}$ を既知の項とするとき、 ${\displaystyle P_{0}<q}$ となる任意の素数に対し ${\displaystyle P:=q^{3}P_{0}}$ もまたこの数列に並ぶからである。これは、${\displaystyle P_{0}}$ を積とする自然数の三つ組に素因数 ${\displaystyle q,q,q}$ を割り振るあらゆる方法（三つ組のうち1つに ${\displaystyle q^{3}}$ を掛ける、1つに ${\displaystyle q^{2}}$ を掛けもう1つに ${\displaystyle q}$ を掛ける、等）をリストアップしたとき、和も一致するのは「元々和が等しかったものどうしに ${\displaystyle (q,q,q)}$ を掛け合わせたもの」に限られる（素因数に着目した比較を行えばよい）ことからわかる。