7次元
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7次元ベクトル空間
7次元ユークリッド空間 $\mathbb{R}^7$ は、7つの実数の組 $(x_1, x_2, \dots, x_7)$ によって記述される。
外積の存在
3次元空間において2つのベクトルの外積（ベクトル積）が定義できるように、7次元空間においても2つのベクトルの外積が定義可能である。これは、ベクトル積が定義できる次元が3と7のみであるという性質に関連している（ハルヴィッツの定理）。これは八元数の構造と密接に関係している。
エキゾチック球面
1956年、ジョン・ミルナーは、位相的には通常の7次元球面（7-sphere）と同じでありながら、微分構造が異なる「エキゾチック球面」が存在することを証明した。これは微分位相幾何学における画期的な発見であり、ミルナーはこの功績によりフィールズ賞を受賞した。