ハルヴィッツの定理 (組成代数) From Wikipedia, the free encyclopedia ハルヴィッツの定理（ハルヴィッツのていり、英: Hurwitz's theorem）は、数学の抽象代数学において、乗法的なノルムを持つ分配代数（組成代数）の次元が制限されることを示した定理である。アドルフ・ハルヴィッツによって1898年に証明された。 体（通常は実数体 $\mathbb{R}$）上の単位元を持つ組成代数 $A$ が存在するのは、その次元が 1, 2, 4, 8 のいずれかである場合に限られる。 これに対応する代数は、同型を除いて以下の4つのみである。 実数（1次元） 複素数（2次元） 四元数（4次元） 八元数（8次元） このうち、八元数のみが結合法則を満たさない（交代代数である）。また、16次元以上の「十六元数」などは乗法的なノルム（$|ab| = |a||b|$）を保持できないため、組成代数には含まれない。 歴史的背景 19世紀、複素数（2次元）の拡張としてハミルトンが四元数（4次元）を発見し、直後にグレーブスとケーリーが八元数（8次元）を発見した。しかし、それ以上の次元の拡張は長らく成功しなかった。ハルヴィッツはこの定理により、ノルムの保存という幾何学的に重要な性質を維持したまま拡張できるのは8次元が限界であることを代数的に厳密に証明した。 平方和の恒等式との関係 この定理は、平方和の恒等式（英: Composition algebra#Hurwitz's theorem）と密接に関連している。 2つの $n$ 個の平方和の積が、再び $n$ 個の平方和として表せるのは、$n = 1, 2, 4, 8$ のときに限られる。 $n=2$: フィボナッチの二平方和恒等式 $n=4$: オイラーの四平方和恒等式 $n=8$: デゲンの八平方和恒等式 関連項目 組成代数 八元数 ケーリー＝ディクソンの構成法 フロベニウスの定理 (実代数)（結合的非可換代数に関する同様の制限） Related Articles