A∞-オペラド

位相空間上の対称群の作用によって構成されるオペラドAはA∞と呼ばれ、その'A(N)'の全体がなす空間は_Σn-オペラド空間（_ΣN対称群であり、乗算作用（N∈N）を有する）となる。その空間'A(N)'が可縮である場合は、非Σオペラドが構成され（非対称オペラドと呼ばれる）、オペラドAは_A∞となる。位相空間以外の圏では、可縮を鎖複体の圏と擬同型なものに置き換える必要がある。

用語の文字Aは「連想」を表し、無限大記号は、「任意」よりも高いホモトピーまで連想性が必要であることを意味する。より一般に、 A_n- オペラド （ n ∈ N ）が定義でき、これは特定のレベルのホモトピーまでしか結合しないパラメータ乗算を持つ。

空間Xを体上の多元環とすると、 BXはループ空間となる。 ${\displaystyle A_{\infty }}$の連結成分のπはモノイド基底となる。体上の多元環である場合、${\displaystyle A_{\infty }}$ -オペラドは${\displaystyle \mathbf {A} _{\infty }}$ -空間になる。ループ空間において、この特性による3つの結果がある。まず、ループ空間は${\displaystyle A_{\infty }}$ -空間になる。第二に、接続された${\displaystyle A_{\infty }}$-空間Xがループ空間になる。第三に、切断可能で群完備な${\displaystyle A_{\infty }}$ -空間はループ空間となる。

ホモトピー理論における${\displaystyle A_{\infty }}$-オペラドの重要性は、${\displaystyle A_{\infty }}$-オペラドとループ空間上の代数関係に由来する。