B*-環
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定義
注意: B* と C*
→「C*-環」も参照
- C*-条件
- (C*) ‖ x∗x ‖ = ‖ x ‖‖ x∗ ‖ (∀x ∈ A)
を満足するバナッハ *-環 A は C*-環と呼ばれる[* 1] 。条件 (B*) から自動的に、対合 ∗ が等距、すなわち ‖ x ‖ = ‖ x∗ ‖ であることが従う。従ってこのとき (C*) が満足されるから、故に B*-環は C*-環である。実は (C*) から (B*) が導かれる（これは自明なことではない、が条件 ‖ x ‖ = ‖ x∗ ‖ を用いることなくそれを証明することができる[4]）。そのような理由から、現在の用語法では「B*-環」と呼ぶことは稀で、「C*-環」と呼ぶようになっている。