BPS状態

超代数（英語版）(superalgebra)の奇の部分の生成子は、次の関係式を持つ^[1]。

${\displaystyle {\begin{aligned}\{Q_{\alpha }^{A},{\bar {Q}}_{{\dot {\beta }}B}\}&=2\sigma _{\alpha {\dot {\beta }}}^{m}P_{m}\delta _{B}^{A}\\\{Q_{\alpha }^{A},Q_{\beta }^{B}\}&=2\epsilon _{\alpha \beta }\epsilon ^{AB}{\bar {Z}}\\\{{\bar {Q}}_{{\dot {\alpha }}A},{\bar {Q}}_{{\dot {\beta }}B}\}&=-2\epsilon _{{\dot {\alpha }}{\dot {\beta }}}\epsilon _{AB}Z\\\end{aligned}}}$

ここに、: ${\displaystyle \alpha {\dot {\beta }}}$ はローレンツ群のインデックスで、A, B は R-対称なインデックスである。

上の生成子の線型結合を次のように取る。

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{\alpha }^{A}&=\xi ^{-1}Q_{\alpha }^{A}+\xi \sigma _{\alpha {\dot {\beta }}}^{0}{\bar {Q}}^{{\dot {\beta }}B}\\T_{\alpha }^{A}&=\xi ^{-1}Q_{\alpha }^{A}-\xi \sigma _{\alpha {\dot {\beta }}}^{0}{\bar {Q}}^{{\dot {\beta }}B}\\\end{aligned}}}$

4つの運動量 ${\displaystyle (M,0,0,0)}$ を持つ状態 ψ を考える。次の作用素をこの状態へ適用すると、

${\displaystyle {\begin{aligned}(R_{1}^{1}+(R_{1}^{1})^{\dagger })^{2}\psi &=4(M+Re(Z\xi ^{2}))\psi \\\end{aligned}}}$

を得る。

しかし、これはエルミート作用素の平方であるので、右辺の係数は、すべての ${\displaystyle \xi }$ に対し、正である必要がある。

特に、このことから導かれる最も強い結果は、

${\displaystyle {\begin{aligned}M\geq |Z|\\\end{aligned}}}$

である。