Club集合

${\displaystyle \kappa \,}$ を共終数 ${\displaystyle \lambda \,}$ の極限順序数とする。ある ${\displaystyle \alpha <\lambda \,}$ に対して、列 ${\displaystyle \langle C_{\xi }:\xi <\alpha \rangle \,}$ が ${\displaystyle \kappa \,}$ のclub集合の列であったとする。このとき、${\displaystyle \bigcap _{\xi <\alpha }C_{\xi }\,}$ もclubである。これを見るために、閉集合たちの共通部分は閉集合であるのは簡単なので、この集合が非有界であることを確かめる。

${\displaystyle \beta _{0}<\kappa \,}$ を任意にとる。ある ${\displaystyle n<\omega }$ に対して ${\displaystyle \beta _{n}}$ が存在するとき、${\displaystyle C_{\xi }\,}$ から ${\displaystyle \beta _{n+1}^{\xi }>\beta _{n}\,}$ となるように、${\displaystyle \beta _{n+1}^{\xi }}$ をとる。これは各 ${\displaystyle C_{\xi }\,}$ が非有界だから可能。そして、これらによる集合は順序数 ${\displaystyle \lambda \,}$ 未満の長さであり、この集合の上限は ${\displaystyle \kappa \,}$ 未満である。そこで、これを ${\displaystyle \beta _{n+1}\,}$ と定める。この方法により、可算列 ${\displaystyle \beta _{0},\beta _{1},\beta _{2},\dots \,}$ を得る。

この列の極限は ${\displaystyle \beta _{0}^{\xi },\beta _{1}^{\xi },\beta _{2}^{\xi },\dots \,}$ の極限でもある。そして各 ${\displaystyle C_{\xi }\,}$ は閉で ${\displaystyle \lambda \,}$ が非可算なので、この極限は各 ${\displaystyle C_{\xi }\,}$ の元であるべきで、これは ${\displaystyle \beta _{0}<\kappa \,}$ より真に大きい ${\displaystyle \bigcap _{\xi <\alpha }C_{\xi }\,}$ の元である。これで ${\displaystyle \bigcap _{\xi <\alpha }C_{\xi }\,}$ が非有界であることが示された。このことから、${\displaystyle \kappa \,}$ が正則基数であるとき ${\displaystyle \{S\subset \kappa$ :\exists C\subset S{\text{ such that }}C{\text{ is club in }}\kappa \}\,} は非自明な ${\displaystyle \kappa \,}$ 上の ${\displaystyle \kappa \,}$ -完備フィルターである。これをclubフィルターといい、${\displaystyle \operatorname {club} (\kappa )}$ と表す。clubフィルターは対角線共通部分 (diagonal intersection) について閉じている。

これがフィルターであることを見る。

まず、${\displaystyle \kappa \in \operatorname {club} (\kappa )}$ である( ${\displaystyle \kappa }$ 自身は ${\displaystyle \kappa }$ のclub集合である)。${\displaystyle x\in \operatorname {club} (\kappa )}$ ならば、${\displaystyle x}$ を部分集合としてもつ ${\displaystyle \kappa }$ の部分集合はやはり ${\displaystyle \operatorname {club} (\kappa )}$ の元である。 ${\displaystyle \kappa }$ -完備であることは上で証明してあった。よって、これでフィルター性は確認された。

${\displaystyle \operatorname {club} (\kappa )}$ が対角線共通部分について閉じていることを確認する。${\displaystyle \langle C_{i}|i<\kappa \rangle }$ をclub集合の列とする。${\displaystyle C}$ をその対角線共通部分すなわち ${\displaystyle C=\Delta _{i<\kappa }C_{i}}$ とする。 ${\displaystyle C}$ が閉であることを示す。${\displaystyle S\subset C}$ かつ ${\displaystyle S\subset \alpha <\kappa }$ かつ ${\displaystyle \bigcup S=\alpha }$ とする。このとき、${\displaystyle \gamma \in S}$ とすると、各 ${\displaystyle \beta <\gamma }$ に対して、${\displaystyle \gamma \in C_{\beta }}$ である。各 ${\displaystyle \beta <\alpha }$ について、${\displaystyle \alpha \in C_{\beta }}$ である。従って、${\displaystyle \alpha \in C}$ である。よって、閉集合であることは示された。${\displaystyle C}$ が非有界であることを示す。${\displaystyle \alpha <\kappa }$ として、可算列 ${\displaystyle \langle \xi _{i}|i<\omega \rangle }$ を以下のように定義する: ${\displaystyle \xi _{0}=\alpha }$ とし、 ${\displaystyle \xi _{i+1}}$ を、${\displaystyle \xi _{i+1}>\xi _{i}}$ なるうちでの ${\displaystyle \bigcap _{\gamma <\xi _{i}}C_{\gamma }}$ の最小要素とする。そのような要素は、多くないclub集合の共通部分がclubなので存在する。そして ${\displaystyle \xi =\bigcup _{i<\omega }\xi _{i}>\alpha }$ かつ ${\displaystyle \xi \in C}$ である。それは、全ての ${\displaystyle i<\xi }$ について、その要素が ${\displaystyle C_{i}}$ の元だからである。よって、${\displaystyle C}$ は非有界である。

${\displaystyle \kappa \,}$ が正則基数なら、club集合の族の対角線共通部分はclub集合である。さらに言えば、${\displaystyle \kappa \,}$ が正則で ${\displaystyle {\mathcal {F}}\,}$ を ${\displaystyle \kappa \,,}$ 上のフィルターで対角線共通部分について閉じていて ${\displaystyle \{\xi <\kappa$ :\xi \geq \alpha \}\,} (ただし ${\displaystyle \alpha <\kappa \,}$ )の形の集合を全て要素に持つとすると ${\displaystyle {\mathcal {F}}\,}$ は全てのclub集合を要素に持つ。

• 定常集合

出典は列挙するだけでなく、脚注などを用いてどの記述の情報源であるかを明記してください。 記事の信頼性向上にご協力をお願いいたします。（2013年7月）

• Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN 3-540-44085-2.
• この記事は、クリエイティブ・コモンズ・ライセンス 表示-継承 3.0 非移植のもと提供されているオンライン数学辞典『PlanetMath』の項目club filterの本文を含む
• この記事は、クリエイティブ・コモンズ・ライセンス 表示-継承 3.0 非移植のもと提供されているオンライン数学辞典『PlanetMath』の項目Clubの本文を含む
• Levy, A. (1979) Basic Set Theory, Perspectives in Mathematical Logic, Springer-Verlag. Reprinted 2002, Dover. ISBN 0-486-42079-5