共終数

${\displaystyle {\mbox{cf}}(\alpha )=\alpha }$となるとき、順序数${\displaystyle \alpha }$ は正則(regular)であるという。 明らかに正則な順序数は基数であり、そのため通常は 正則基数という言葉で呼ばれる。 一般に${\displaystyle {\mbox{cf}}({\mbox{cf}}(\alpha ))={\mbox{cf}}(\alpha )}$が成り立つので共終数は常に正則である。 例えば、後続基数は全て正則基数である。 非可算で正則な極限基数は弱到達不可能基数と呼ばれ、その存在の整合性は 標準的な集合論の公理系であるZFCから証明不可能である。

正則でない順序数のことを特異順序数(singular ordinal)と呼び、 それが基数の場合には特異基数(singular cardinal)と呼ぶ。 例えば、${\displaystyle \omega }$番目の無限基数、${\displaystyle \aleph _{\omega }}$は 特異基数である。 特異基数の構造は公理的集合論において最も興味を持たれている対象の 一つであり、シルバーの定理やシェラーのpcf理論などのような 目覚ましい成果を挙げている。