無限インパルス応答

デジタルIIRフィルタ

デジタルIIRフィルタはIIRで表現されるデジタルフィルタである。

${\displaystyle \ b_{i}}$ を係数とする ${\displaystyle P}$ 次のフィードフォワードと${\displaystyle \ a_{i}}$ を係数とする ${\displaystyle Q}$ 次のフィードバックをもち、入出力を ${\displaystyle x[n]}$・${\displaystyle y[n]}$ とする離散時間システムを考える。システムは差分方程式を用いて次のように表現される。

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{0}y[n]&=\sum _{i=0}^{P}b_{i}x[n-i]-\sum _{j=1}^{Q}a_{j}y[n-j]\\&=b_{0}x[n]+b_{1}x[n-1]+\cdots +b_{P}x[n-P]-a_{1}y[n-1]-a_{2}y[n-2]-\cdots -a_{Q}y[n-Q]\end{aligned}}}$

移項すると、

${\displaystyle \ \sum _{j=0}^{Q}a_{j}y[n-j]=\sum _{i=0}^{P}b_{i}x[n-i]}$

フィルタの伝達関数を見つけるため、上記方程式の両辺のZ変換を行う。このとき、Z変換のシフト性を利用する。

${\displaystyle \ \sum _{j=0}^{Q}a_{j}z^{-j}Y(z)=\sum _{i=0}^{P}b_{i}z^{-i}X(z)}$

ここで、伝達関数は次のように定義される。

${\displaystyle {\begin{aligned}H(z)&={\frac {Y(z)}{X(z)}}\\&={\frac {\displaystyle \sum _{i=0}^{P}b_{i}z^{-i}}{\displaystyle \sum _{j=0}^{Q}a_{j}z^{-j}}}\end{aligned}}}$

これらのデジタルIIRフィルタの設計は、アナログIIRフィルタに基づいてなされてきた。多くの場合、デジタルIIRフィルタを設計するにあたってまずアナログIIRフィルタ（例えば、チェビシェフフィルタ、バターワースフィルタ、楕円フィルタ）を設計し、インパルス不変法や双一次変換といった離散化技法を適用してデジタルに変換する。