K3曲面

K3曲面の特徴づけに使える同値な性質は多数存在する。完備で滑らかな自明な標準バンドルを持つ曲面は、K3曲面と複素トーラス（もしくはアーベル多様体）なので、そこに何かしら後者を除外する条件を付け加えればK3曲面の定義になる。複素数上で曲面が単連結であるという条件が時として使われる。

定義にはいくつかの流儀があり、一部の研究者は射影曲面に限定しており、またデュヴァル特異点 (Du Val singularities)^[3]を持つ曲面を認める場合もある。

上の定義と同値であるが、K3曲面 S は自明な標準バンドル K_S = 0 を持ち、不正則数 q = 0 である曲面として定義することができる。したがって S から P¹ への自明な写像が存在し、${\displaystyle q=h^{0,1}=\operatorname {dim} H^{1}(S,{\mathcal {O}}_{S})=0}$ である。

セール双対性より

${\displaystyle h^{2}(S,{\mathcal {O}}_{S})=h^{0}(S,K_{S})=1.}$

となる。これと組み合わせると、オイラー標数

${\displaystyle \chi (S,{\mathcal {O}}_{S}):=\sum _{i}(-1)^{i}h^{i}(S,{\mathcal {O}}_{S})=2}$

である。

一方、リーマン・ロッホの定理（ネターの公式）より、

${\displaystyle \chi (S,{\mathcal {O}}_{S})={\frac {1}{12}}(c_{1}(S)^{2}+c_{2}(S))}$

であり、ここに、c_i は i番目のチャーン類とする。K_S は自明であるから、第一チャーン類 c₁ = 0 である。オイラー数 e(S) は第二チャーン類 c₂(S) に等しいので、e(S) = 24 を得る。したがって、b₁ = 0, b₂ = 22 である。

1. 全ての複素K3曲面は、互いに微分同相である（小平邦彦が最初に証明した）。

Siu (1983) は、全ての複素K3曲面がケーラー多様体であることを示した。このケーラー多様体であるという事実と、カラビ予想のヤウによる解の結果として、K3曲面はリッチ平坦な計量を持つ。

2. K3曲面の (p,q)-番目のホッジ数は、具体的によく知られている。ホッジダイアモンドは、

となる。

3. K3曲面の ${\displaystyle H^{2}(S,\mathbb {Z} )}$ 上に、このことは格子構造を定義し、K3格子と呼ばれる。これは次のセクションに記述する。

上記のK3曲面の性質のおかげで、現在、代数幾何だけではなく、カッツ・ムーディ代数、ミラー対称性や弦理論で広く研究されている。特に、格子構造は、その上にネロン・セヴィリ群の構造をもつモジュラ性をもたらす。

マーク付き（点の付いた）の複素K3曲面の荒いモジュライ空間が存在し、複素次元 20 の非ハウスドルフ的な滑らかな空間となる。複素K3曲面に対しては、周期写像が存在し、トレリの定理（英語版）が成り立つ。

M が K3曲面 S と H^1,1(S,R) のケーラー類のペアであれば、M は自然な方法で、60次元の実解析多様体となる。M から空間 KΩ⁰ への精密化された周期写像で、同型となるものが存在する。周期の空間は次のように明確に記述できる。

• L は偶のユニモジュラ格子（英語版） II_3,19 である
• Ω はエルミート対称空間（英語版）であり、(ω, ω) = 0, (ω, ω^*) > 0 である元 ω で表現されるような複素射影空間 L⊗C の元から構成される
• KΩ は (κ, E(ω)) = 0, (κ, κ) > 0 を満たす (L⊗R, Ω) の組 (κ, [ω]) の集合である
• KΩ⁰ は (d, d) = −2 である L の全ての d に対して (κd) ≠ 0 を満たす KΩ の元 (κ, [ω]) の集合である

L をK3曲面上のラインバンドルとすると、一次系の中の曲線は種数 g となる。ここに、c₁²(L) = 2g − 2 である。このようなラインバンドル L を持つK3曲面を種数 g のK3曲面という。K3曲面は、g の異なる値に対し、 種数 g のK3曲面への写像を持つ多くのラインバンドルがあるかもしれない。ラインバンドルの切断の空間は g + 1次元なので、g 次元の射影空間へのK3曲面からの射が存在する。c₁²(L) = 2g − 2 である豊富なバンドル L を持つK3曲面のモジュライ空間 F_g が存在し、この空間は次元が g ≥ 2 に対し 19 次元で空集合ではない。Mukai (2006) は、g ≤ 13 であればモジュライ空間 F_g は単有理的であることを示し、V. A. Gritsenko, Klaus Hulek, and G. K. Sankaran (2007) は、g ≥ 63 であれば、モジュライ空間が一般型であることを示した。Voisin (2008) はこの分野のサーベイである。

K3曲面は、弦双対性（英語版）のほとんどの箇所に現れ、重要なツールを提供する。弦のコンパクト化に対して、K3曲面は、自明な空間ではないが、詳細な性質のほぼ全部を解明できる空間である。タイプ IIA 弦、タイプ IIB 弦、E₈ × E₈ ヘテロ弦、Spin(32)/Z2 ヘテロ弦、および M理論は、K3曲面上のコンパクト化により関連付けられることができる。例えば、K3曲面上へコンパクト化されたタイプ IIA 弦は、4-トーラス上へコンパクト化されたヘテロ弦に等価である。Aspinwall (1996)

• 非特異な次数 6 の曲線に沿って分岐した射影平面の二重被覆は、種数 2 のK3曲面である。
• クンマー曲面（英語版）(Kummer surface)は、2次元のアーベル多様体 A の作用 a → −a による商である。この結果は、Aの 2-トーションの点で 16個の特異点を持つという結果になる。この商の最小特異点解消(minimal resolution)は、種数 3 のK3曲面である。
• P³ の中の次数 4 の非特異曲面は、種数 3 のK3曲面である。
• P⁴ の中の 2次と 3次の交叉は、種数 4 のK3曲面である。
• P⁵ の中の 3つの 2次の交叉は、種数 5 のK3曲面である。
• Brown (2007) にK3曲面の計算機によるデータベースが掲載されている。

• 超特異K3曲面（英語版）
• 代数曲面の分類
• アンブラルムーンシャイン（英語版） K3曲面とマチュー群 M24（英語版）の奇妙な関係。