Newell の車両追従モデル

本モデルは、マクロ交通流理論における三角形Fundamental Diagram をミクロ的に解釈したものになる。車頭距離${\displaystyle s}$と密度${\displaystyle k}$には以下の関係が成立する。

${\displaystyle k={\frac {1}{s}}}$

追従状態を仮定するとき、密度${\displaystyle k}$は、速度${\displaystyle v}$を用いて表現することもできる。$${\displaystyle {\begin{matrix}k&={\frac {1}{s}}\\&={\frac {1}{u\tau +\delta }}\\&={\frac {\frac {1}{\tau }}{u+{\frac {\delta }{\tau }}}}\\&={\frac {{\frac {1}{\delta }}{\frac {\delta }{\tau }}}{u+{\frac {\delta }{\tau }}}}\\&={\frac {\kappa \omega }{u+\omega }}\\\end{matrix}}}$$このとき、${\displaystyle \kappa }$は渋滞密度、${\displaystyle \omega }$は後進波速度である。渋滞密度と停車時車頭距離の間には以下の関係が成立する。

${\displaystyle \kappa ={\frac {1}{\delta }}}$

また、後進波速度と停車時車頭距離、反応時間の間には以下の関係が成立する。

${\displaystyle \omega ={\frac {\delta }{\tau }}}$

時空間図において、追従状態では先行車両と追従車両の車両軌跡は、時間的に${\displaystyle \tau }$だけ遅れ、空間的に${\displaystyle \delta }$だけ戻ったような軌跡が得られる。

すなわち、以下の等式が成立する。

${\displaystyle x_{i}(t)=x_{i-1}(t-\tau )-\delta }$

追従状態ではない、すなわち自由流状態の場合車両の速度は自由流速度になる。そのため、車両 ${\displaystyle i}$ の車両軌跡は以下のように計算できる。

${\displaystyle x_{i}(t)=\min(x_{i}^{F}(t),x_{i}^{C}(t))}$

このとき、車両 ${\displaystyle i}$ が自由流状態の場合実現する位置 ${\displaystyle x_{i}^{F}(t)}$は以下のようになる。

${\displaystyle x_{i}^{F}(t)=x_{i}(t-\Delta t)+u\Delta t}$

ただし、${\displaystyle \Delta t}$ は任意の正の実数である。

車両 ${\displaystyle i}$ が追従状態の場合実現する位置 ${\displaystyle x_{i}^{C}(t)}$は以下のようになる。

${\displaystyle x_{i}^{C}(t)=x_{i-1}(t-\tau )-\delta }$

${\displaystyle \Delta t=\tau }$ が成立する場合、計算が容易である。このような車両の位置を計算するモデルはXモデルと呼ばれる^[3]。

現実世界の状況では、後続車両の不適切な運転挙動により、本モデルで予測される車両軌跡軌道と異なる可能性がある。実際に得られた車両軌跡と、理論的な車両軌跡を比較し、車両異質性を明らかにできる。次の図は、実際の車両軌跡 (黒) と、本モデルによって予測された後続車両の車両軌跡 (青) を示している。

後続車両の反応時間と停車時車頭距離が長い場合、先行車両と後続車両の車両軌跡の差が大きくなる。これは、後続車両の注意深い運転を意味する。一方、反応時間と停車時車頭距離が短い場合、先行車両と後続車両の車両軌跡の差が小さくなる。これは、後続車両は攻撃的な運転を意味する。