P-行列

ケロッグの定理によれば、P-行列および P₀-行列の固有値は、以下に述べる意味で、負の実軸についての楔型の領域から離れている:

${\displaystyle \{u_{1},...,u_{n}\}}$ をn次元P-行列の固有値としたとき、次が成立する。

${\displaystyle |arg(u_{i})|<\pi -{\frac {\pi }{n}},i=1,...,n}$

${\displaystyle \{u_{1},...,u_{n}\}}$, ${\displaystyle u_{i}\neq 0}$, ${\displaystyle i=1,...,n}$ をn-次元 P₀-行列の固有値としたとき、次が成立する。

${\displaystyle |arg(u_{i})|\leq \pi -{\frac {\pi }{n}},i=1,...,n}$

正則なM-行列の類は、P-行列の類の部分集合である。P-行列かつZ-行列であるような全ての行列は、正則なM-行列である。十分行列（sufficient matrix）の類は、P-行列の別の一般化である^[1]。

ヤコビ行列式がP-行列であるような関数は、空間 Rⁿ の任意の直交領域上で単射である。

特に安定性理論における関連概念としては、P^(-)-行列（しばしば N−P-行列とも呼ばれる）が挙げられる。-A がP-行列となるような行列A のことを、P^(-)-行列と呼ぶ（P₀-行列についても同様）。スペクトル集合はσ(A )=-σ(-A ) であることより、それらの行列の固有値は正の実軸から離れている。