ランダムウォーク

${\displaystyle X_{n}}$ (${\displaystyle n=1,2,\dots }$) を独立かつ同分布な ${\displaystyle \mathbf {R} ^{d}}$ 値確率変数族とする。この時、

${\displaystyle S_{n}=X_{1}+\cdots +X_{n}}$

を（${\displaystyle d}$ 次元）ランダムウォーク (d dimensional random walk, RW) という。

特に、${\displaystyle X_{n}}$ が ${\displaystyle \mathbf {Z} ^{d}}$ 値であり、かつ、

${\displaystyle P(X_{n}=\mathbf {e} _{j})=P(X_{n}=-\mathbf {e} _{j})={\frac {1}{2d}}}$

（${\displaystyle \mathbf {e} _{j}}$ は、第 ${\displaystyle j}$ 成分が 1 の単位ベクトル）である時、S_n を（${\displaystyle d}$ 次元）単純ランダムウォーク (d dimensional simple random walk) という。

直接的一般化として、結晶格子（結晶構造の抽象化）上のランダムウォークが定式化され、中心極限定理と大偏差の性質が小谷と砂田により証明されている^[3][4]。

コイントスにおいて、コインを投げて「裏と表が出る確率」は、共に二分の一である。

数直線上の点について、コインを投げて表が出た場合に点を右（正の方向）に進め、裏が出た場合に点を左（負の方向）に進める試行（1次元のランダムウォーク）を無限回繰り返した場合に、点がある位置に存在する確率は正規分布で示される。

しかし、点が正の領域にいる時間の割合${\displaystyle x}$の分布は、${\displaystyle {\tfrac {1}{\pi {\sqrt {x(1-x)}}}}}$の確率密度を持つ（負の領域にいる時間の割合は${\displaystyle 1-x}$）。これは${\displaystyle x=0}$および${\displaystyle x=1}$で無限大に発散するグラフである。

すなわち、正・負のそれぞれの領域に半々ずつ点がいる確率よりも、どちらかの領域に多くいる確率の方がはるかに高い結果となる^[5][6]。

1. 再帰性

   1または2次元の単純ランダムウォークは再帰的であり、3次元以上のランダムウォークは非再帰的である^[7][8]。

1. Donsker の定理の系

   X_n (n = 0, 1, ...) を平均 0 かつ分散 1 の独立かつ同分布な 1 次元ランダムウォークとし、

   ${\displaystyle S_{t}=S_{n}\quad {\mbox{ if }}t=n,\quad {\mbox{ linear }}{\mbox{ if }}n<t<n+1}$

   で定義すると、各 t ≧ 0 に対して次が成立する。

   ${\displaystyle P\left(\left|{\frac {S_{nt}}{\sqrt {n}}}-B_{t}\right|<\varepsilon \right)\rightarrow 0\quad {\mbox{ for all }}\varepsilon >0}$

レビのダスト

宇宙空間の星の分布のモデルとして考えられた点の分布。点の進む方向をランダム、進行距離の分布が冪級数で与えられるようなランダムウォーク。

自己回避ランダムウォーク（英語版）^[9]

軌跡が交差しないランダムウォーク。理論的な解析は困難。高分子の幾何学的構造^[10]、海岸線などのモデル（自己相似）として利用されている。