Theorema Egregium

Theorema Egregium（ラテン語。音訳：テオーレーマ・エーグレギウム^{[注 1]}。直訳：卓越した定理^{[注 2]}）はカール・フリードリヒ・ガウスにより証明された定理で、曲面のガウス曲率が曲面の内在的な量（リーマン計量）のみで書けることを主張する。

日本語では

「最も素晴らしい定理」^[7]
「驚異の定理」^[8]^[9]
「Gaussの基本定理」^[10]
「抜群の定理」^[11]

などと訳されることもあるが、egregiumには「驚異の」という意味はない^{[注 2]}。英語では「Remarkable Theorem」（注目すべき定理）と意訳することもある^[12]^[13]^[14]。

語源

「Theorema Egregium」という語はこの定理を示したガウスの原論文から来ている（太字引用者）：

Formula itaque art. praec, sponte perducit ad egregium
THEOREMA. Si superficies curva in quamcunque aliam superficiem explicatur, mensura curuaturae in singulis punctis inuariata manet. — Carl Friedrich Gauss、Disquisitiones generales circa superficies curvas^[15]

したがって前項の公式それ自身が導く、卓越した^{[注 2]}^{[注 3]}
定理. もし曲面が他の任意の曲面にどのように展開されたとしても、各点における曲率の大きさは不変である。 — カール・フリードリヒ・ガウス、曲面に関する一般的考察^[16]^[17]

概要

$M$ を3次元ユークリッド空間 $\mathbb {R} ^{3}$ 内の曲面とし、 $P$ を $M$ 上の点とする。点 $P$ において $M$ の「最も曲がっている方向」の曲がり具合と「最も曲がっていない方向」の曲がり具合の積を点 $P$ における $M$ のガウス曲率という。（ただし図のように $P$ が鞍点になっている場合は、逆方向の曲がりをマイナスの曲がり具合と解釈する。よってこの場合の「最も曲がっていない方向」とは「逆向きに最も曲がっている方向」である）。

ガウス曲率はその定義より、 $\mathbb {R} ^{3}$ における $M$ の曲がり具合を利用して定義されている為、 $\mathbb {R} ^{3}$ において $M$ がどのような形になっているかが一見重要に見える。

しかし実はガウス曲率は $M$ の「外の空間」である $\mathbb {R} ^{3}$ とは無関係に計算できる、というのがTheorema Egregiumの趣旨である。具体的にはガウス曲率は $M$ の距離空間としての構造（厳密にはリーマン計量）のみから計算できる。

したがって、 $\mathbb {R} ^{3}$ 内で $M$ を変形しても、その変形が $M$ の距離構造を変えない限り、ガウス曲率は変わらない。例えばカテノイド（英語版）（＝懸垂面）とヘリコイド（英語版）（＝螺旋面）は見た目は大きく異なるが、両者の距離構造は同じなので、ガウス曲率は変わらない。

このように「外の空間」とは無関係に $M$ の情報だけを用いて計算できる量を $M$ に内在的な(英: intrinsic)量であるという。Theorema Egregiumは、ガウス曲率が $M$ の内在的な量であることを意味している。

Theorema Egregiumから得られる帰結として、平面上に地球の正確な歪みの無い地図を描くことはできない。

Theorema Egregiumを使うと、地球の地図を書くとき距離を歪ませない正確な地図は書けないことが示せる^{[注 4]}^{[注 5]}。実際、もし正確な地図が書けるなら、地球と地図（すなわち球面と平面）の距離構造は同一なので、Theorema Egregiumより両者のガウス曲率は等しくなければならないが、球面のガウス曲率は半径を $R$ とすると $1/R 2$ であり、平面のガウス曲率は $0$ であることが知られているので、これは矛盾である。

なお、ガウスがTheorema Egregiumなどの曲面論（ガウスの曲面論（英語版））を研究したきっかけは、国家の測量を依頼されたためであった。

ベルンハルト・リーマンはTheorema Egregiumに着目することにより、「外の空間」なしの $n$ 次元曲面、すなわち $n$ 次元リーマン多様体を定義し、これが今日の微分幾何学の研究の嚆矢となった。

さらにアルベルト・アインシュタインは、重力の座標変換則がリーマン多様体のそれとよく似ていることに着目し、宇宙をリーマン多様体の類似物（擬リーマン多様体）と見なすことで一般相対性理論を確立した。

厳密な定式化

古典的な定式化

Theorema Egregiumは以下のように定式化できる：

定理 ― $\mathbb {R} ^{3}$ 内の曲面 $M$ に対し、 $M$ のガウス曲率は $M$ の第一基本形式（およびその2階以下の偏微分）のみを用いて記述できる。

なお、第一基本形式は現代的な言い方では「リーマン計量」と呼ばれる。

具体的には第一基本形式を

I=E\,du^{2}+2F\,du\,dv+G\,dv^{2}.\,

とするとき、ガウス曲率 $K$ はブリオスキの公式

K={\frac {\det {\begin{vmatrix}-{\frac {1}{2}}E_{vv}+F_{uv}-{\frac {1}{2}}G_{uu}&{\frac {1}{2}}E_{u}&F_{u}-{\frac {1}{2}}E_{v}\\F_{v}-{\frac {1}{2}}G_{u}&E&F\\{\frac {1}{2}}G_{v}&F&G\end{vmatrix}}-\det {\begin{vmatrix}0&{\frac {1}{2}}E_{v}&{\frac {1}{2}}G_{u}\\{\frac {1}{2}}E_{v}&E&F\\{\frac {1}{2}}G_{u}&F&G\end{vmatrix}}}{(EG-F^{2})^{2}}}

により記述できる。ここで $E u$ は $E$ の $u$ -偏微分を表す。

→「ガウス曲率 § 別の公式」も参照

現代的な定式化

リーマン多様体の言葉を使うと、Theorema Egregiumを以下のように再定式化できる。 $M\subset \mathbb {R} ^{3}$ を $\mathbb {R} ^{3}$ の $C \infty$ 級部分多様体とし、 $M$ に $\mathbb {R} ^{3}$ の内積から誘導されるリーマン計量 $g$ を入れ、 $g$ が定めるレヴィ・チヴィタ接続（共変微分）を $\nabla$ とし、リーマンの曲率テンソル $R$ を

R(X,Y)Z:=\nabla _{X}\nabla _{Y}Z-\nabla _{Y}\nabla _{X}Z-\nabla _{[X,Y]}Z

により定義する。

各点 $P\in M$ に対し、 $T P M$ の $g$ に関する正規直交基底 $e_{1},e_{2}$ を選び、 $P$ における $M$ の断面曲率を

\mathrm {Sec} _{P}:=g(e_{1},R(e_{1},e_{2})e_{2})

により定義する。断面曲率は $e_{1},e_{2}$ の選び方によらずwell-definedであることが知られている^{[注 6]}。

このときTheorema Egregiumは以下のように再定式化できる：

定理 (Theorema Egregiumの再定式化) ― $\mathbb {R} ^{3}$ の二次元部分多様体 $M\subset \mathbb {R} ^{3}$ に対し、点 $P$ におけるガウス曲率は点 $P$ における断面曲率と一致する^[18]。

断面曲率は $M$ に内在的な量（リーマン計量）のみから定義したので、断面曲率は $M$ に内在的な量である。よって上記の定理はガウス曲率が $M$ に内在的であることを示している。

高次元の場合

→詳細は「部分リーマン多様体の接続と曲率」を参照

$M$ をリーマン多様体 $M$ の部分多様体とする。 $M$ が $M$ において余次元1であれば、第二基本形式が実数値の双線形写像になり、第二基本形式の固有値・固有ベクトルとして主曲率 $\kappa _{1},\ldots ,\kappa _{m}$ およびそれに対応する主方向 $e_{1},\ldots ,e_{m}$ が定義できる。さらに全ての主曲率の積としてガウス曲率 $K=\kappa _{1}\cdots \kappa _{m}$ が定義できる。（なおガウス曲率は第二基本形式の行列式に等しい）。このとき、以下が成立する：

系 (断面曲率と主曲率の関係) ― $i \neq j$ を満たす任意の $i, j \in{1,..., m$ }に対し、以下が成立する^[18]：

\mathrm {Sec} (e_{i},e_{j})={\overline {\mathrm {Sec} }}(e_{i},e_{j})+\kappa _{i}\kappa _{j}

ここで $\mathrm {Sec} _{P}(\cdot ,\cdot )$ 、 ${\overline {\mathrm {Sec} }}_{P}(\cdot ,\cdot )$ はそれぞれ $M$ 、 $M$ の断面曲率である。

$M$ が曲率 $c$ の定曲率空間であれば、

\mathrm {Sec} (e_{i},e_{j})=c+\kappa _{i}\kappa _{j}

であり、 $\mathrm {Sec} _{P}(e_{i},e_{j})$ が $M$ に内在的な量であることも言える：

定理 (Theorema Egregiumの一般化) ― ${\bar {M}}_{c}$ を曲率 $c$ の定曲率空間とし、 $M\subset {\bar {M}}_{c}$ をその余次元 $1$ の部分多様体とし、さらに $P$ を $M$ の点とする。さらに線形写像 $\rho ~:~\wedge ^{2}TM_{P}\to \wedge ^{2}TM_{P}$ を

g(\rho (X\wedge Y),Z\wedge W)=g(R(X,Y)W,Z)

により定義する。

このとき、 $ρ$ の固有値の集合は

\{\kappa _{i}\kappa _{j}+c\mid i,j\in 1,\ldots ,m,{\text{ s.t. }}i\neq j\}

に一致する^[19]。ここで $m$ は $M$ の次元であり、 $\kappa _{1},\ldots ,\kappa _{m}$ は点 $P$ における主曲率である。

また $\kappa _{1},\ldots ,\kappa _{m}$ に対応する主方向を $e_{1},\ldots ,e_{m}$ とすると、 $\kappa _{i}\kappa _{j}+c$ に対応する固有ベクトルは $e_{i}\wedge e_{j}$ である。

よって特に以下が従う：

系 (偶数次平均曲率の内在性、偶数次元のガウス曲率の内在性) ― 記号を前述の定理と同様に取るとき ${\bar {M}}_{c}$ における $M$ のガウス曲率 $K$ は $M$ の次元 $m$ が偶数なら $M$ に内在的な量である^[19]^{[注 7]}。

一方、奇数次元のガウス曲率は $M$ に内在的な量ではないが、以下が成り立つことが知られている：

系 (符号を除いたガウス曲率の内在性) ― 記号を前述の定理と同様に取る。 $M$ の次元 $m$ が奇数であっても、 ${\bar {M}}_{c}$ における $M$ のガウス曲率 $K$ は符号を除いて内在的な量である^[19]^{[注 8]}^{[注 7]}

以上のことから、 $m$ が偶数の場合には ${\bar {M}}_{c}$ における $M$ のガウス曲率をリーマン曲率で書きあらわすことができる。 ${\bar {M}}_{c}$ が曲率0の場合は、具体的にはリーマン曲率から定まるオイラー形式がガウス曲率と一致する。

このオイラー形式はガウス・ボンネの定理の高次元化にも役に立ち、オイラー形式を積分したものがオイラー数に一致する、という形で高次元のガウス・ボンネの定理を記述できる。

詳細は部分リーマン多様体の接続と曲率の項目を参照されたい。

脚注

注釈

[1]
「¯」で長母音を「˘」で短母音を表すと「thĕōrēma ēgrĕgĭum」である^[1]。ラテン語の発音は基本的には文字をそのまま読めば良い^[2]^[3]。ただし「th」に関してはギリシア語の借入なので、古典ギリシア語と同様帯気音[tʰ]と発音するのが本来だが実際には[t]と発音することも多かった^[4]。よってTheorema Egregiumを音訳すると「テオーレーマ・エーグレギウム」となる。なお、Theoremaのアクセントは前から2番目の「e」のところ、Egregiumのアクセントは語頭の「E」の位置にある^[3]。アクセントが強勢アクセントなのか高低アクセントなのかは未解決であるが強勢アクセントだったという説が有力である^[5]。
[2]
ラテン語で「Theorema」は「 1. 議論、問題、2. 定理、3. 意見、見解、4. 見ること、観察」という意味のギリシャ語源の中性名詞であり^[6]、「egregium」は形容詞「egregius」が中性単数主格の名詞につくときの格変化で、意味は「1. すぐれた、卓越した 2. 名誉ある」である^[6]。
[3]
より直訳に近いのは、「前項の公式はそれ自身が卓越した定理を導く」であるが、「定理」の部分が定理の表題を兼ねているので、この訳文にした。
[4]
ここでいうのは地図上の任意の二点間の距離を保つ地図が書けない、ということである。与えられた一点からの距離を保つ地図であれば実現可能で正距方位図法（リーマン多様体の言葉で言えば正規座標（英語版））がこれにあたる。
[5]
ガウス曲率は断面曲率に一致する（後述）ので、平面、および球面の断面曲率を直接計算することでもこの事実を証明でき、この場合は証明にTheorema Egregiumを必要としない。ただし、ガウス曲率が断面曲率に等しいという知見自身はTheorema Egregiumにより得られたものである。
[6]
一般の $m$ 次元リーマン多様体の場合は、正規直交基底 $e_{1},e_{2}$ の貼る平面と別の正規直交基底 $e'_{1},e'_{2}$ の貼る平面が同一であれば、これらの基底の定義する断面曲率は同一である。今は $2$ 次元のリーマン多様体 $M$ を考えているので、この条件は常に満たされる。
[7]
本定理でいる「内在的」の意味に注意する必要がある。実際、 $M$ の内在的な量から直接計算される $c+\kappa _{i}\kappa _{j}$ から $\kappa _{i}\kappa _{j}$ を求めるには、 $c$ を知らねばならず、積 $\kappa _{i}\kappa _{j}$ は $c$ に依存して決まる。よって $\kappa _{i}\kappa _{j}$ から求まる偶数次平均曲率やガウス曲率の平方等も $c$ に依存して決まる量である。本定理で言う「内在的」は $c$ をfixしたとき、任意に埋め込み写像 $f~:~M\to {\bar {M}}_{c}$ を取ると、 $f$ から定まる主曲率の積の集合 $\{\kappa _{i}{}^{f}\kappa _{j}{}^{f}\}$ （やそこから定まる偶数次平均曲率、、ガウス曲率の平方等）は、 $f$ が ${\bar {M}}_{c}$ への埋め込み写像である限り、 $f$ に依存しない、という意味である。
[8]
すなわちガウス曲率の自乗 $K 2$ が $M$ に内在的な量である。

出典

[1]
“Latin dictionaries”. 2023年5月19日閲覧。
[2]
山下太郎. しっかりと学ぶ初級ラテン語. ベレ出版. pp. 9-13. ISBN 978-4860643669
[3]
“羅和辞典改訂版発音”. Japan knowledge. 2023年6月7日閲覧。
[4]
谷栄一郎「ラテン語の発音と表記について」『奈良県立商科大学研究季報』第5巻第4号、1995年3月、27-34頁、CRID 1050282813785990912、ISSN 0915-9371、2024年2月6日閲覧。
[5]
“古典語初級（ラテン語）”. 東京大学. 2023年6月21日閲覧。
[6]
水谷智洋, ed (2009/3/25). 羅和辞典 <改訂版> LEXICON LATINO-JAPONICUM Editio Emendata. 研究社. ISBN 978-4767490250の「theorema」の項、「egregium」の項、および「egregius」の項
[7]
#小林77 p.92.
[8]
“幾何概論 II 講義ノート（2012 年度，井上尚夫)”. 熊本大学. 2023年5月19日閲覧。
[9]
“曲面に関連するシンプレクティック群の表現と幾何学的不変量”. 東京大学. 2023年5月19日閲覧。
[10]
安藤直也 (熊本大学大学院自然科学研究科). “曲面の幾何学 —Hopf の定理およびその証明—”. p. 18. 2023年6月7日閲覧。
[11]
武隈良一「19世紀前半における独仏の数学」『小樽商大人文研究』第17巻、小樽商科大学、1959年1月、4頁、CRID 1050001338412448128、hdl:10252/3504、ISSN 0482-458X。
[12]
Yin Li. “The Gauss-Bonnet-Chern Theorem on Riemannian Manifolds” (PDF). 2023年5月18日閲覧。
[13]
“Differential Geometry III, Term 2 (Section 10)”. Durham University. 2023年5月19日閲覧。
[14]
“Lectures 16-17: Gauss's Remarkable Theorem”. Alberta University. 2023年5月19日閲覧。
[15]
#Goettingen 12章、太字引用者
[16]
#Project Gutenberg 12章の下記の文章を重訳した。ただしtheorema egregiumの箇所(remarkable theoremの箇所)はラテン語から直接訳した。
Thus the formula of the preceding article leads of itself to the remarkable
THEOREM. If a curved surface is developed upon any other surface whatever, the measure of curvature in each point remains unchanged.
[17]
論文名の和訳『曲面に関する一般的考察』は下記に従った：阿賀岡芳夫. “リーマン多様体の等長埋め込み論外史”. 広島大学. p. 3. 2026年2月4日閲覧。
[18]
#Carmo p.131.
[19]
#Dajczer p.47.

Theorema Egregium

語源

概要

厳密な定式化

古典的な定式化

現代的な定式化

高次元の場合

脚注

注釈

出典

文献

参考文献

原論文

関連項目

外部リンク

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