Xorshift

Xorshiftは疑似乱数列生成法の1つである。George Marsaglia（w:George Marsaglia）が2003年に提案した。演算が排他的論理和とビットシフトのみであるため高速である^[1] などの特徴がある。

Xorshiftアルゴリズム^[2]のCによる実装例^[3]:

#include <stdint.h>

struct xorshift32_state {
  uint32_t a;
};

/* The state word must be initialized to non-zero */
uint32_t xorshift32(struct xorshift32_state *state)
{
	/* Algorithm "xor" from p. 4 of Marsaglia, "Xorshift RNGs" */
	uint32_t x = state->a;
	x ^= x << 13;
	x ^= x >> 17;
	x ^= x << 5;
	return state->a = x;
}

struct xorshift64_state {
  uint64_t a;
};

uint64_t xorshift64(struct xorshift64_state *state)
{
	uint64_t x = state->a;
	x ^= x << 13;
	x ^= x >> 7;
	x ^= x << 17;
	return state->a = x;
}

struct xorshift128_state {
  uint32_t x[4];
};

/* The state array must be initialized to not be all zero */
uint32_t xorshift128(struct xorshift128_state *state)
{
	/* Algorithm "xor128" from p. 5 of Marsaglia, "Xorshift RNGs" */
	uint32_t t  = state->x[3];
    
    uint32_t s  = state->x[0];  /* Perform a contrived 32-bit shift. */
	state->x[3] = state->x[2];
	state->x[2] = state->x[1];
	state->x[1] = s;

	t ^= t << 11;
	t ^= t >> 8;
	return state->x[0] = t ^ s ^ (s >> 19);
}

/* The Xorshift128 algorithm can be reworded to use a pair of uint64_t state,
   or for systems with such support, a uint128_t state. */

このアルゴリズムの周期はそれぞれ $2^{32}-1,2^{64}-1,2^{96}-1,2^{128}-1$ で、Diehardテスト（英語版）をパスしている。

64ビット整数を効率よく扱える計算機では、xor,shift操作の組を3つから2つにして計算負荷を減らしても、周期は $2^{64}-1$ に保たれる。^[4]

struct xorshift64_state {
  uint64_t a;
};

uint64_t xorshift64(struct xorshift64_state *state)
{
	uint64_t x = state->a;
	x ^= x << 7;
	x ^= x >> 9;
	return state->a = x;
}

周期の特定

シード値を128bitの二元横ベクトル $\beta$ 、現在の状態から次状態への二元遷移行列を $T$ と置くと、Xorshiftアルゴリズムにより生成される乱数列は $\beta ,\beta T,\beta T^{2},\dots$ と表される。詳しい証明は省略するが^[2]、行列 $T$ のOrderが $k=2^{n}-1$ で表される時、かつその時に限り、任意の0でない $\beta$ に対し $\beta ,\beta T,\beta T^{2},\dots ,\beta T^{k-1}$ は全て異なる値となる。

予備的なテストとしては、今周期 $k$ について $k=2^{n}-1$ となることを期待しているため、期待する $n$ が $T^{2^{n}}=T$ を満たす最小の $n$ であるかを調べる、というものがある。これは $T$ を $n$ 回二乗すれば良いため、乱数列を調べるのと比較すると十分に速く調べられる。

完全なテストとしては、期待する周期 $k$ の約数 $d$ について $T^{d}\neq I\iff k\neq d$ を示せば良い。例えば、 $n$ bitのビット列 $x$ に対する操作が

x ^= x << a;
x ^= x >> b;
x ^= x << c;
return x;

である場合、 $T=(I+L^{a})(I+R^{b})(I+L^{c})$ である。但し、 $L_{i,j}^{a}={\begin{cases}1&i=j+a\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}$ 及び $R_{i,j}^{a}={\begin{cases}1&i=j-a\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}$ である。

$n=32$ の場合、 $T^{d}\neq I\Longleftarrow d={\begin{cases}65535\\16711935\\252645135\\858993459\\1431655765\end{cases}}$ 及び $T^{2^{32}}=T$ を調べれば十分である。

$n=64$ の場合、 $2^{64}-1$ が $641$ の倍数であるということに注意すると、 $T^{d}\neq I\Longleftarrow d={\begin{cases}2753074036095\\281470681808895\\28778071877862015\\71777214294589695\\1085102592571150095\\3689348814741910323\\6148914691236517205\end{cases}}$ 及び $T^{2^{64}}=T$ を調べれば十分である。

別の例としては

t = x ^ (x << 11);
x = y; y = z; z = w;
return w = (w ^ (w >> 19)) ^ (t ^ (t >> 8));

に対しては $({\begin{smallmatrix}x_{n+1}&y_{n+1}&z_{n+1}&w_{n+1}\end{smallmatrix}})=({\begin{smallmatrix}x_{n}&y_{n}&z_{n}&w_{n}\end{smallmatrix}})\cdot T$ のように立式し、 $T=\left({\begin{smallmatrix}O&O&O&(I+L^{11})(I+R^{8})\\I&O&O&O\\O&I&O&O\\O&O&I&(I+R^{19})\\\end{smallmatrix}}\right)$ について同様に解く。各変数が32 bitだとすれば $n=128$ , 64 bitだとすれば $n=256$ であり、対応する $d$ は以下の表のようになる。

$n$	$32$	$64$	$128$	$256$
$d$	`0x0000ffff`	`0x00000280fffffd7f`	`0x0000000000042f00fffffffffffbd0ff`	`0x000000000000000000d3eafc3af14600ffffffffffffffffff2c1503c50eb9ff`
	`0x00ff00ff`	`0x0000ffff0000ffff`	`0x00000280fffffd7f00000280fffffd7f`	`0x000000000000013540775b48cc32ba00fffffffffffffecabf88a4b733cd45ff`
	`0x0f0f0f0f`	`0x00663d80ff99c27f`	`0x00003d30f19cd100ffffc2cf0e632eff`	`0x0000000000042f00fffffffffffbd0ff0000000000042f00fffffffffffbd0ff`
	`0x33333333`	`0x00ff00ff00ff00ff`	`0x0000ffff0000ffff0000ffff0000ffff`	`0x00000280fffffd7f00000280fffffd7f00000280fffffd7f00000280fffffd7f`
	`0x55555555`	`0x0f0f0f0f0f0f0f0f`	`0x00663d80ff99c27f00663d80ff99c27f`	`0x00003d30f19cd100ffffc2cf0e632eff00003d30f19cd100ffffc2cf0e632eff`
		`0x3333333333333333`	`0x00ff00ff00ff00ff00ff00ff00ff00ff`	`0x0000ffff0000ffff0000ffff0000ffff0000ffff0000ffff0000ffff0000ffff`
		`0x5555555555555555`	`0x0f0f0f0f0f0f0f0f0f0f0f0f0f0f0f0f`	`0x00663d80ff99c27f00663d80ff99c27f00663d80ff99c27f00663d80ff99c27f`
			`0x33333333333333333333333333333333`	`0x00ff00ff00ff00ff00ff00ff00ff00ff00ff00ff00ff00ff00ff00ff00ff00ff`
			`0x55555555555555555555555555555555`	`0x0f0f0f0f0f0f0f0f0f0f0f0f0f0f0f0f0f0f0f0f0f0f0f0f0f0f0f0f0f0f0f0f`
				`0x3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333`
				`0x5555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555`

周期の特定

脚注

参考文献

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