Σ-有限測度

測度論において、最も扱いやすい測度は全空間の測度が有限である「有限測度」である。しかし、解析学において重要なルベーグ測度などは、全空間（実数全体など）の測度が無限大となるため、有限測度の枠組みには収まらない。

一方で、ルベーグ測度は無限大の測度を持つものの、「有限な長さを持つ区間の可算和」として空間を捉えることができるという重要な性質を持っている。このような性質を抽象化したものが ${\displaystyle \sigma }$-有限測度である。この概念を導入することで、無限測度を扱いながらも、有限測度に近い数学的利便性（一意性や積の定義など）を保持することが可能になる。

可測空間 ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$ とその上の測度 ${\displaystyle \mu }$ について、以下のいずれか（すべて同値）の条件を満たすとき、${\displaystyle \mu }$ は ${\displaystyle \sigma }$-有限測度であると定義される。

1. ${\displaystyle X}$ を可算個の有限測度な可測集合で被覆できる。すなわち、${\displaystyle A_{n}\in {\mathcal {A}}}$ かつ ${\displaystyle \mu (A_{n})<\infty }$ である集合列によって、${\displaystyle \bigcup _{n\in \mathbb {N} }A_{n}=X}$ と書ける^[1]。
2. ${\displaystyle X}$ を可算個の互いに素な有限測度な可測集合の和として表せる。すなわち、${\displaystyle B_{n}\in {\mathcal {A}}}$、${\displaystyle \mu (B_{n})<\infty }$、かつ ${\displaystyle i\neq j}$ ならば ${\displaystyle B_{i}\cap B_{j}=\varnothing }$ である集合列によって、${\displaystyle \bigcup _{n\in \mathbb {N} }B_{n}=X}$ と書ける。
3. ${\displaystyle X}$ を有限測度な可測集合の単調増加列で被覆できる。すなわち、${\displaystyle C_{1}\subset C_{2}\subset \cdots }$ かつ ${\displaystyle \mu (C_{n})<\infty }$ である集合列によって、${\displaystyle \bigcup _{n\in \mathbb {N} }C_{n}=X}$ と書ける。
4. 積分値が有限となるような、至る所正値な可測関数 ${\displaystyle f}$ が存在する^[2]。すなわち、すべての ${\displaystyle x\in X}$ で ${\displaystyle f(x)>0}$ であり、かつ ${\displaystyle \int _{X}f(x)\mu (\mathrm {d} x)<\infty }$ を満たす。

${\displaystyle \mu }$ が ${\displaystyle \sigma }$-有限であるとき、三つ組 ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu )}$ を ${\displaystyle \sigma }$-有限測度空間と呼ぶ^[3]。

${\displaystyle \sigma }$-有限性は、測度論における多くの重要な定理の仮定として現れる。

• 拡張の一意性: カラテオドリの拡張定理において、完全加法的測度を環から生成される ${\displaystyle \sigma }$-代数へ拡張する際、環上での測度が ${\displaystyle \sigma }$-有限であれば、その拡張は一意に定まる。
• 積測度の構成: 二つの測度空間の積空間上に積測度を定義する際、それぞれの測度が ${\displaystyle \sigma }$-有限であれば、積測度は一意に定義され、フビニの定理が適用可能となる。
• ラドン＝ニコディムの定理: ある測度が別の測度に対して絶対連続であるとき、それらが ${\displaystyle \sigma }$-有限であれば、ラドン＝ニコディム導関数の一意な存在が保証される。

また、${\displaystyle \sigma }$-有限性は「局所化可能（localisable）」というより緩い条件でもいくつかの定理が成立することがアーヴィング・セガールによって示されている^[4]。

さらに、${\displaystyle X}$ 上の任意の ${\displaystyle \sigma }$-有限測度 ${\displaystyle \mu }$ は、${\displaystyle X}$ 上のある確率測度 ${\displaystyle \nu }$ と等価（互いに絶対連続）である。具体的には、${\displaystyle X}$ を互いに素な有限測度集合列 ${\displaystyle \{V_{n}\}}$ で分割し、和が 1 となる正の重み列 ${\displaystyle \{w_{n}\}}$ を用いて $${\displaystyle \nu (A)=\sum _{n=1}^{\infty }w_{n}{\frac {\mu (A\cap V_{n})}{\mu (V_{n})}}}$$ と定義すれば、${\displaystyle \nu }$ は ${\displaystyle \mu }$ と同じ零集合を持つ確率測度となる。

適度な測度 (Moderate measures)

ボレル測度 ${\displaystyle \mu }$ が「適度（moderate）」であるとは、${\displaystyle \mu (A_{i})<\infty }$ となる可算個の開集合 ${\displaystyle \{A_{i}\}}$ によって ${\displaystyle X}$ を被覆できることをいう^[5]。これは ${\displaystyle \sigma }$-有限性よりも強い条件である。

分解可能測度 (Decomposable measures)

互いに素な有限測度集合の族による被覆が存在する測度。集合の数に制限（可算性）がない点が ${\displaystyle \sigma }$-有限と異なる。

s-有限測度 (s-finite measures)

可算個の有限測度の和として表される測度^[2]。すべての ${\displaystyle \sigma }$-有限測度は s-有限であるが、逆は必ずしも真ではない。