アフィン幾何学

アフィン幾何学は、しばしば「ユークリッド幾何学から計量を忘れたもの」と説明される すなわち、長さ・角度・面積そのものは一般には不変ではないが、一直線上にあること、直線どうしが平行であること、中点や重心のようにアフィン変換で保存される概念は意味をもつ。^[1]たとえば円は一般のアフィン変換で楕円に移り得るため、円であること自体はアフィン的性質ではないが、平行四辺形の構成や線分の比に関する議論はアフィン的に扱うことができる。^[1]

平行線の概念が中心にあるため、平面の場合には、ある直線の外の一点を通ってその直線に平行な直線がただ1本存在するというプレイフェアの公理が基本的な役割を果たす。 総合的には、この種の公理系に基づいてアフィン平面や高次元のアフィン空間を定義できる。^[2]

現代数学では、アフィン幾何学はしばしば線形代数を用いて記述される。アフィン空間は、あるベクトル空間に対して、そのベクトルが「点のあいだの差」や「平行移動」として作用するような点の集合として定義される。^[1][2] 2点 A, B に対してベクトル ${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}$ が定まり、点 P とベクトル v から点 ${\displaystyle P+v}$ が定まるが、ベクトル空間とは異なり、アフィン空間そのものには自然に選ばれた原点は存在しない。^[1]

任意の1点を基準点として選べば、アフィン空間の各点は対応するベクトルで表せるため、座標を導入することができる。^[1] しかし、その基準点の選択には本質的な意味がなく、この「原点をもたない」ことがアフィン空間の特徴である。^[1] したがってアフィン幾何学は、ベクトル空間の線形構造を背景にもちつつ、原点に依存しない幾何学として理解できる。^[2]

アフィン幾何学で基本となる変換はアフィン変換である。座標を用いれば、アフィン変換は可逆な線形変換と平行移動の合成

${\displaystyle x\mapsto Ax+b}$

の形で表される。^[1]

アフィン変換は、点の共線性、部分空間の包含関係、平行性、ならびに同一直線上または互いに平行な直線上にある線分の比を保存する。^[1] 一方で、長さ、角度、円、正多角形といった計量的・合同的概念は一般には保存しない。^[1] このためアフィン幾何学では、どの性質がアフィン不変であるかを見極めることが重要となる。^[2]

アフィン幾何学は射影幾何学と密接に結び付いている。座標化された場合、n 次元アフィン空間は n 次元射影空間から1つの超平面を取り除いたものとして得られる。^[1][3] この取り除かれた超平面はしばしば「無限遠超平面」と呼ばれ、アフィン空間における平行な直線は、射影空間ではその無限遠超平面上の同一点で交わるとみなされる。^[4]

この見方により、アフィン幾何学は「交わらない」という平行性の概念をもつ幾何学であり、射影幾何学はそれを無限遠点の導入によって統一した幾何学であると理解できる。^[2]

2次元の場合のアフィン幾何学はアフィン平面として研究される。 とくに有限体上で座標化されたアフィン平面は有限幾何の基本例であり、組合せ論や符号理論などとも関係する。^[5] 有限体 ${\displaystyle \mathbf {F} _{q}}$ 上のアフィン平面では、点集合は ${\displaystyle \mathbf {F} _{q}^{2}}$ とみなされ、直線は一次方程式で表される。^[5] このとき各直線は ${\displaystyle q}$ 個の点を含み、各方向ごとに平行な直線の族が得られる。^[5]

有限アフィン平面は、射影平面との対応や組合せ的構造の研究において重要であり、抽象的な公理系によっても特徴付けられる。^[5]

アフィン幾何学は、線形代数、射影幾何学、微分幾何学のあいだをつなぐ基礎理論の一つである。^[6] また、クラインのエルランゲン・プログラムの観点からは、アフィン変換群の下で不変な性質を研究する幾何学として位置づけられる。

アフィン幾何学は19世紀以降の近代幾何学の発展の中で明確に位置づけられた。^[1] ユークリッド幾何学の計量的要素と、射影幾何学における無限遠の取り扱いとのあいだにある理論として整理され、後にはクラインのエルランゲン・プログラムの枠組みでも理解されるようになった。