アーベル・ヤコビ写像

${\displaystyle M}$ を滑らかなコンパクト多様体とし、${\displaystyle M}$ の基本群を ${\displaystyle \pi =\pi _{1}(M)}$ とする。基本群のアーベル化写像を ${\displaystyle f:\pi \to \pi ^{ab}}$ とする。アーベル化写像 ${\displaystyle \pi ^{ab}}$ の捩れ部分群を ${\displaystyle tor=tor(\pi ^{ab})}$ とし、${\displaystyle g:\pi ^{ab}\to \pi ^{ab}/tor}$ を捩れによる商とする。

${\displaystyle M}$ が曲面で g を曲面の種数とすると、${\displaystyle \pi ^{ab}/tor}$ は、${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2g}}$ と同型となる。さらに一般的には、${\displaystyle b}$ を第一ベッチ数とすると、${\displaystyle \pi ^{ab}/tor}$ は ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{b}}$ と同型となる。さらに、${\displaystyle \phi =g\circ f:\pi \to \mathbb {Z} ^{b}}$ を合成した準同型とする。

定義：多様体 ${\displaystyle M}$ の被覆 ${\displaystyle {\bar {M}}}$ に対応する部分群 ${\displaystyle \mathrm {Ker} (\phi )\subset \pi }$ を、普遍（もしくは、最大）自由アーベル群という。

ここで、M がリーマン計量を持っているとし、${\displaystyle E}$ を ${\displaystyle M}$ の調和 1-形式の空間とし、その双対 ${\displaystyle E^{*}}$ を標準的に ${\displaystyle H_{1}(M,\mathbb {R} )}$ と同一視する。調和 1-形式を基点 ${\displaystyle x_{0}\in M}$ からの経路に沿って積分すると、円への写像 ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} =S^{1}}$ を得る。

同様に、写像 ${\displaystyle M\to H_{1}(M,\mathbb {R} )/H_{1}(M,\mathbb {Z} )_{\mathbb {R} }}$ をコホモロジーの基底を選ぶことなしに定義するために、次のようにする。${\displaystyle x}$ を ${\displaystyle M}$ の普遍被覆 ${\displaystyle {\tilde {M}}}$ の点とする。${\displaystyle x}$ を ${\displaystyle M}$ の点と ${\displaystyle x_{0}}$ からの経路 ${\displaystyle c}$ により表わす。経路 ${\displaystyle c}$ に沿って積分すると、${\displaystyle E}$ 上の線型形式 ${\displaystyle h\to \int _{c}h}$ を得る。このようにして、写像 ${\displaystyle {\tilde {M}}\to E^{*}=H_{1}(M,\mathbb {R} )}$ を得ることができ、この写像は、

${\displaystyle {\overline {A}}_{M}:{\overline {M}}\to E^{*},\;\;c\mapsto \left(h\mapsto \int _{c}h\right),}$ ともなっている。ここに、${\displaystyle {\overline {M}}}$ は普遍自由アーベル被覆である。

定義 ${\displaystyle M}$ のヤコビ多様体（ヤコビトーラス）は、

${\displaystyle J_{1}(M)=H_{1}(M,\mathbb {R} )/H_{1}(M,\mathbb {Z} )_{\mathbb {R} }}$

である。

定義 アーベル・ヤコビ写像(Abel–Jacobi map)

${\displaystyle A_{M}:M\to J_{1}(M),}$

は、上の写像の商をとることにより得られる。

アーベル・ヤコビ写像は、ヤコビトーラスの変換を同一視すると一意的である。写像はシストリック幾何学（英語版）(Systolic geometry)への応用がある。

同じ方法の多くの中に、アーベル・ヤコビ写像のグラフ理論での類似を、有限グラフから平坦トーラス（有限アーベル群に付帯するケイリーグラフ）への P-L写像を定義することができる。これは、結晶格子のランダムウォークの漸近的な振る舞いに関係していて、結晶構造の設計に使うことができる。興味深いことに、リーマン多様体のアーベル・ヤコビ写像は、周期的多様体上の熱核の長時間の漸近展開の中に現れる。(Kotani & Sunada (2000) and Sunada (2012))

非常に良く似た方法で、有限グラフから平坦トーラス（あるいは、有限アーベル群を伴うケーレイグラフ）へのPL写像として、アーベル・ヤコビ写像のグラフ理論的な類似を定義することができる。このことは、結晶格子上のランダムウォークの漸近的な振る舞いと密接に関連していて、結晶構造のデザインに使うことができる。

次の定理は、アーベル(Abel)により証明された。

${\displaystyle D=\sum _{i}n_{i}p_{i}\ }$

が因子であると仮定する（C の点の形式的線型結合であることを意味する）と、

${\displaystyle u(D)=\sum _{i}n_{i}u(p_{i})\ }$

と定義することができ、従って、因子上のアーベル・ヤコビ写像の値を言うことができる。この理論は、 D と E が 2つの有効な因子である、つまり、${\displaystyle n_{i}}$ がすべて正の整数であると、

${\displaystyle u(D)=u(E)\ }$

であることと、${\displaystyle D}$ , ${\displaystyle E}$ が線型同値（英語版）(linearly equivalent)であることとは、同値である。このことは、アーベル・ヤコビ写像が、次数 0 の因子類群の空間からヤコビ多様体への（アーベル群の）単射写像を誘導することを意味する。ヤコビは、この写像が全射でもあることを証明し、従って 2つの群は自然に同型となることを証明した。

アーベル・ヤコビの定理は、コンパクト複素曲線（正則 1-形式の周期を modulo とする双対）のアルバネーゼ多様体は、そのヤコビ多様体（次数 0 の因子の同値類）と同型であることを意味している。高次元のコンパクト射影多様体について、アルバネーゼ多様体やピカール多様体は、双対であるが同型であるとは限らない。

• E. Arbarello; M. Cornalba; P. Griffiths; J. Harris (1985). “1.3, Abel's Theorem”. Geometry of Algebraic Curves, Vol. 1. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90997-4 

• Kotani, Motoko; Sunada, Toshikazu (2000), “Albanese maps and an off diagonal long time asymptotic for the heat kernel”, Comm. Math. Phys. 209: 633–670, doi:10.1007/s002200050033 

• Sunada, Toshikazu (2012), “Lecture on topological crystallography”, Japan. J. Math. 7: 1–39, doi:10.1007/s11537-012-1144-4