アーベル多項式

通常 \[ A_0(x;a)=1,\qquad A_n(x;a)=x(x-an)^{n-1}\ (n\ge 1) \] とする。パラメータ a の取り方により、（係数展開を含む）具体形が変わる。^[1]

アーベル多項式列は二項型の多項式列として扱われ、加法に関する恒等式（アーベル型の二項恒等式）を満たすことが知られている。たとえば、アーベル恒等式の古典的形の一つは \[ (x+y)^n=\sum_{i=0}^n {n\choose i}\,x(x-iz)^{i-1}\,(y+iz)^{n-i} \] であり、二項恒等式の一般化として位置づけられる。^[3]

また、二項型多項式列全体がアーベル多項式で表現できるという結果が知られており、二項型の理論においてアーベル多項式が中心的役割を果たすことを示している。^[2]

アーベル多項式は指数型母関数（exponential generating function）で特徴づけられ、LambertのW関数を用いた表示が与えられる。^[1]

アーベル多項式は、陰計算の枠組み（シェファー列・デルタ作用素など）における基本例として現れることが多い。二項型多項式列が陰計算的構造で統一的に扱えること、およびアーベル多項式がその表現理論と結びつくことは、Rota らの流れの研究として位置づけられる。^[2]

{{{1}}} のとき、最初の数項は次のとおりである。^[4]

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{{{1}}} のときも同様に計算できる。^[4]