アーベル方程式

上述の二つの方程式は同値である。実際、α を可逆函数とすると、二番目の方程式は

${\displaystyle \alpha ^{-1}(\alpha (f(x)))=\alpha ^{-1}(\alpha (x)+1)\,}$

のように書くことが出来る。すると x = α⁻¹(y) とすることで、この方程式は

${\displaystyle f(\alpha ^{-1}(y))=\alpha ^{-1}(y+1)\,}$

のように書くことが出来る。既知とされる函数 f(x) に対して、問題は函数 α⁻¹ についての函数方程式を解くこととなる。また α⁻¹(0) = 1 のような追加条件も必要となる可能性がある。

実パラメータ s に対して変数変換 s^α(x) = Ψ(x) を行うことで、アーベル方程式は有名なシュレーダーの方程式 Ψ(f(x)) = s Ψ(x) に書き換えることが出来る。

さらに変換 F(x) = exp(s^α(x)) を施すことで、ボッチャーの方程式 F(f(x)) = F(x)^s が得られる。

はじめ、この方程式はより一般的な形式で記述されていた^{[1] [2]}。その方程式は、一変数の場合ですら非自明なもので、特別な解析が必要とされた^[3][4]。

線型変換函数の場合、解はコンパクトな形式で表現できる^[5]。