エルハート多項式

具体的に、ユークリッド空間 Rⁿ 内の格子 L と、同じく Rⁿ 内の d-次元多面体 P を考え、多面体 P の各頂点は格子 L 上の点であるものと仮定する（よくあるのは L = Zⁿ で多面体 P の頂点座標が全て整数値であるような場合である）。任意の正の整数 t に対し、 tP を P の t-倍相似拡大とし、

${\displaystyle L(P,t)=\sharp (tP\cap L)}$

を tP が含む格子点の数とする。エルハートは1962年に L が^{[note 1]} t に関して次数 d の有理多項式であること、すなわち有理数 a₀, ..., a_d で、任意の正整数 t に対して

L(P, t) = a_dt^d + a_d−1t^d−1 + … + a₀

となるようなものが存在することを示した。さらに P が閉（つまり境界面が P に属する）ならば L(P, t) の係数のいくつかは簡単な解釈をもつ。

• 最高次係数 a_d は P の d-次元体積を d(L) で割ったものに等しい（格子 L の容量 (content) もしくは共容積 (covolume) d(L) については格子群を参照せよ）。
• (d−1)-次の係数 a_d−1 は以下のように計算することができる。格子 L が P の各面 F に誘導する格子を L_F とし、F の (d−1)-次元体積をとって 2d(L_F) で割ったものを P の面すべてについて足し合わせる。
• 定数項 a₀ は P のオイラー標数である。とくに P が閉凸多面体ならば a₀ = 1 が成り立つ。

これらの言及の n = d = 2 かつ t = 1 の場合をかんがえればピックの定理が得られる。また、これら以外の係数に対する公式を得るのは非常に難しく、トーリック多様体のトッド類やリーマン-ロッホの定理およびフーリエ解析などが必要である。

閉凸多面体 P の内部 int P に対応するエルハート多項式は

L(int P, t) = (−1)ⁿ L(P, −t)

と計算できる。X が P の正規扇 (normal fan) に対応するトーリック多様体ならばP は X 上の豊富線束を定めるが、このとき P のエルハート多項式はその線束のヒルベルト多項式に一致する。