Summarize Timeline Top Qs Fact Check 古代ギリシアにおいて「幾何学」といえばユークリッド幾何学 の事であったが、数学の発展に伴い、様々な幾何学が登場した。その契機の一つは非ユークリッド幾何学 の発見であり、双曲幾何学 および楕円幾何学 というユークリッド幾何学の平行線公理 を満たさない新しい幾何学が提唱された。
この他にも遠近法 の数学的な基盤として登場した射影幾何 をはじめとして、アフィン幾何学 （英 : Affine geometry ）、メビウス幾何学 （英 : Möbius geometry ）、リー球面幾何学 （英語版 ） 英 : Lie sphere geometry ）、ラゲール幾何学（英 : Laguerre geometry ）などが登場した[ 2]
クラインのエルランゲン・プログラムは、ソフス・リー のTheorie der Transformationsgruppen リー群 の理論）に基づいて[ 3] 綱領 （ プログラム ） 等質空間 [ 2] クライン空間 （英 : Klein space ）と呼んだ[ 4]
すなわち、クラインの意味での幾何学 とはリー群 G と、G が推移的に作用 する多様体 X との組
(
G
,
X
)
{\displaystyle (G,X)}
[ 2] G の事をhauptgruppe [ 5] [ 注 1] chief group [ 5] ハスケル はこれをprincipal group [ 2] X 上に一点x を取り、x の固定部分群を
H
x
=
{
h
∈
G
∣
h
x
=
x
}
{\displaystyle H_{x}=\{h\in G\mid hx=x\}}
H
g
x
=
g
−
1
H
g
{\displaystyle H_{gx}=g^{-1}Hg}
x によらずHx は同型であり、X は
[
g
]
∈
G
/
H
→
g
x
∈
X
{\displaystyle [g]\in G/H\to gx\in X}
により自然に
G
/
H
x
{\displaystyle G/H_{x}}
(
G
,
X
)
{\displaystyle (G,X)}
G とその閉部分リー群Hx の組[ 注 2]
(
G
,
H
x
)
{\displaystyle (G,H_{x})}
[ 2] [ 6]
具体例は以下の通りである：
さらに見る
幾何学
X G H
ユークリッド幾何学
E
n
=
R
n
{\displaystyle \mathbb {E} ^{n}=\mathbb {R} ^{n}}
E
n
{\displaystyle \mathbb {E} ^{n}}
等長変換 群
I
s
o
m
(
E
n
)
=
{
f
A
,
b
∣
A
∈
O
(
n
)
,
b
∈
R
n
}
{\displaystyle \mathrm {Isom} (\mathbb {E} ^{n})=\{f_{A,b}\mid A\in O(n),b\in \mathbb {R} ^{n}\}}
ここで
O
(
n
)
{\displaystyle O(n)}
直交群 であり、
f
A
,
b
(
x
)
=
A
x
+
b
{\displaystyle f_{A,b}(x)=Ax+b}
O
(
n
)
{\displaystyle O(n)}
楕円幾何学
P
n
=
R
n
+
1
/
∼
{\displaystyle \mathbb {P} ^{n}=\mathbb {R} ^{n+1}/\sim }
x
∼
y
⟺
∃
k
∈
R
:
x
=
k
y
{\displaystyle x\sim y\iff \exists k\in \mathbb {R} ~:~x=ky}
P
n
{\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}
I
s
o
m
(
P
n
)
=
O
(
n
+
1
)
{\displaystyle \mathrm {Isom} (\mathbb {P} ^{n})=O(n+1)}
{
(
A
0
0
1
)
|
A
∈
O
(
n
)
}
{\displaystyle \left\{{\begin{pmatrix}A&0\\0&1\end{pmatrix}}{\Bigg |}A\in O(n)\right\}}
双曲幾何学
H
n
=
{
x
∈
R
n
+
1
∣
x
1
2
+
⋯
+
x
n
2
−
x
n
+
1
2
=
1
}
{\displaystyle \mathbb {H} ^{n}=\{x\in \mathbb {R} ^{n+1}\mid x_{1}{}^{2}+\cdots +x_{n}{}^{2}-x_{n+1}{}^{2}=1\}}
x
=
(
x
1
,
…
,
x
n
+
1
)
{\displaystyle x=(x_{1},\ldots ,x_{n+1})}
H
n
{\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}
I
s
o
m
(
H
n
)
=
O
(
n
,
1
)
{\displaystyle \mathrm {Isom} (\mathbb {H} ^{n})=O(n,1)}
ここで
O
(
n
,
1
)
{\displaystyle O(n,1)}
ローレンツ群 である。
{
(
A
0
0
1
)
|
A
∈
O
(
n
)
}
{\displaystyle \left\{{\begin{pmatrix}A&0\\0&1\end{pmatrix}}{\Bigg |}A\in O(n)\right\}}
(実)射影幾何学
P
n
=
R
n
+
1
/
∼
{\displaystyle \mathbb {P} ^{n}=\mathbb {R} ^{n+1}/\sim }
x
∼
y
⟺
∃
k
∈
R
:
x
=
k
y
{\displaystyle x\sim y\iff \exists k\in \mathbb {R} ~:~x=ky}
射影線型群
P
G
L
n
+
1
(
R
)
=
G
L
n
+
1
(
R
)
/
∼
{\displaystyle \mathrm {PGL} _{n+1}(\mathbb {R} )=\mathrm {GL} _{n+1}(\mathbb {R} )/\sim }
A
∼
B
⟺
∃
k
∈
R
:
A
=
k
B
{\displaystyle A\sim B\iff \exists k\in \mathbb {R} ~:~A=kB}
{
(
∗
0
∗
∗
)
∈
G
L
n
+
1
(
R
)
}
/
∼
{\displaystyle \left\{{\begin{pmatrix}*&0\\*&*\end{pmatrix}}\in \mathrm {GL} _{n+1}(\mathbb {R} )\right\}/\sim }
閉じる
クラインの幾何学では、
G
{\displaystyle G}
X が同一でも、G が異なれば別の幾何学とみなされる事である。例えばユークリッド空間
E
n
{\displaystyle \mathbb {E} ^{n}}
アフィン変換全体 のなすリー群をG として選んだアフィン幾何学 相似変換 全体のなすリー群をG として選んだ相似幾何学 はユークリッド幾何学とは区別される。アフィン幾何学では、アフィン変換に不変な性質を探ることになるので、ユークリッド幾何学での研究対象であってもアフィン幾何学の研究対象ではないものが存在する。例えば前述した三角形の合同はアフィン変換に対して不変ではないので、アフィン幾何学の研究対象ではない。
![{\displaystyle [g]\in G/H\to gx\in X}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/845a9759492befa990e1b4f14c7e223afcc414f6)
, 
...
