オイラーの式

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オイラーの式（オイラーのしき）は、レオンハルト・オイラーの名を冠する数式。以下のように多数の公式や方程式が存在する。

関数

オイラーの公式 （Euler's formula） - 指数関数と三角関数の関係式。

e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta

オイラーの等式 （Euler's identity） - 上記の関係式で $\theta =\pi$ のときに導かれる等式。

e^{i\pi }+1=0

代数

オイラーの四平方恒等式 （Euler's four-square identity）

級数

オイラー多項式（Euler poynomial）^[1]

E_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}{\frac {E_{k}}{2^{k}}}\left(x-{\frac {1}{2}}\right)^{n-k}

オイラーの和公式 - オイラー＝マクローリンの和の公式（Euler–Maclaurin summation formula）とも呼ばれる。

\sum _{j=0}^{n-1}f(j)=\int _{0}^{n}f(x)dx+\sum _{k=1}^{m}{\frac {B_{k}}{k!}}\left(f^{(k-1)}(n)-f^{(k-1)}(0)\right)+R_{m}

幾何学

オイラーの多面体定理 - 多面体を参照。

物理学

流体力学

オイラー方程式 (流体力学) （Euler equations (fluid dynamics)） - 完全流体に関する運動方程式。

{\frac {D{\boldsymbol {v}}}{Dt}}={\boldsymbol {K}}-{\frac {1}{\rho }}\,\mathrm {grad} \,p

　　

\left({\frac {D{\boldsymbol {v}}}{Dt}}={\frac {\partial }{\partial t}}+{\boldsymbol {v}}\cdot \nabla \right)

流体に関するオイラーの連続の方程式　⇒連続の方程式を参照。

{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\mathrm {div} (\rho {\boldsymbol {v}})=0

剛体の力学

オイラーの運動方程式（Euler's equations (rigid body dynamics)） - 剛体の回転に関する運動方程式。

解析力学

オイラー方程式 - 変分法による運動方程式。解析力学の基礎方程式でもあり、オイラー＝ラグランジュ方程式（Euler–Lagrange equation）とも呼ばれる。

{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}-{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right)=0

工学

注釈

関連項目

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