オメガ定数

Ω は無理数である。

Ω が有理数であれば、次式を満たす整数 p, q が存在する。

${\displaystyle {\frac {p}{q}}=\Omega }$

これをオメガ定数の定義式に代入すると、

${\displaystyle 1={\frac {p}{q}}e^{\frac {p}{q}}}$

${\displaystyle e^{p}=\left({\frac {q}{p}}\right)^{q}}$

これは、e が p 次の代数的数であることを示しているが、e は超越数であると証明されているため、背理法により Ω は無理数でなければならない。

高さが無限大のテトレーション ${\displaystyle {\left({\frac {1}{e}}\right)}^{{\left({\frac {1}{e}}\right)}^{.^{.^{\left({\frac {1}{e}}\right)}}}}}$ の極限は、オメガ定数 Ω に収束する。

また、${\displaystyle {\left({\frac {1}{\Omega }}\right)}^{\left({\frac {1}{\Omega }}\right)}}$の値は、e に等しい。

• ランベルトのW関数