オロイド

オロイドの表面積は円の半径をrとしたとき次の式で表される^[1]：

${\displaystyle A=4\pi r^{2}.}$

これはまさに半径 r の球の表面積と等しい。また、オロイドの体積は次式にて示される^[1]：

${\displaystyle V={\frac {2}{3}}\left(K\left({\frac {3}{4}}\right)+2E\left({\frac {3}{4}}\right)\right)r^{3}.}$

ただし ${\displaystyle K}$と${\displaystyle E}$はそれぞれ第一種と第二種の完全楕円積分を表す。数値解析的な体積は

${\displaystyle V\approx 3.0524184684\,r^{3}}$

となる（オンライン整数列大辞典の数列 A215447）。

オロイドの表面は可展面であり、展開すると平面となる。また、可展面が一続きの輪となっているため、転がるとき全ての面が地面に接する（英語版）^[1]性質を持つ。 オロイドが転がるとき重心が蛇行するように移動する点も、球や円柱といった軸対称の立体の転がりとは異なる特徴である。オロイド一回転するとき、その重心の高さは最小値と最大値を二回ずつとる。重心の動く高さの差は

${\displaystyle \Delta h=r\left({\frac {\sqrt {2}}{2}}-{3}{\frac {\sqrt {3}}{8}}\right)\approx 0.0576r}$

で表される。ただし r はオロイドの弧の半径である。転がる際の重心の高さの変動が半径に対してこのように僅かであるため、オロイドは比較的穏やかに転がせられる。 オロイドが転がるとき、その接地する領域は常に同じ長さの線分になり、その線分の長さは次の式で与えられる ^[1][2]：

${\displaystyle l={\sqrt {3}}r}$.

スフェリコン（英語版）は、中心を同じくする90度回転した二つの半円の骨格による凸包である。スフェリコンは四つの円錐を組み合わせた立体ともとらえられる。スフェリコンはオロイドと形が似ているだけではなく、オロイドと同様に、可展面が一続きの輪となっているため、転がるとき全ての面が地面に接する性質を持つ。しかしオロイドと異なり、スフェリコンは四つの角により断面が正方形となっている。

より一般的な立体についていえば、「二円転がり体」と呼べる立体が1966年に記述されている。この立体は、二つの垂直の円盤から定義される。円の中心が半径の√2 倍までであれば、転がる際の重心は地面から一定の距離を保ち、すなわちオロイドよりつつがなく転がれる^[3]。

モートンの転がる結び目(Morton's Rolling Knot)、または「揺れる結び目(Rocking Knot)」は三葉結び目を、三重接線を持たないという条件で媒介変数を含む関数にしたものである^[4]。 例えば、3つの異なる点に接する面が存在しない。この独特な特性により、一度に2箇所以上で地面に接することはなく、容易に転がる。現代的な最適化は、均一な転がり運動を実現するための最適なパラメータを決定するように作られている^[5]。

1979年、現代ダンサーのアラン・ボーディング(Alan Boeding)は、二つの交差する半円から「サークルウォーカー」(Circle Walker)と名付けた彫刻を設計した。これは骨組み（英語版）版のスフェリコンで、オロイドに似た転がり方をする。1980年代になると彼はインディアナ大学にある彫刻のMFAプログラムの一部として、この彫刻の大型版を用いてダンスを始めた。その後彼は1984年にダンス会社のMOMIX（英語版）に入社すると、この彫刻は会社のパフォーマンスの一部として営利化された^[6][7]。同社の後期作品「ドリームキャッチャー」は、別のボーディングの彫刻作品に基づいており、連結された涙滴型の形状は、オロイドの骨格と回転運動を組み込んでいる^[8]。

• 凸包
• 可展面
• スフェリコン（英語版）