カップ積

特異コホモロジーにおいて、カップ積 (cup product) は位相空間 X の次数付きコホモロジー環 H^∗(X) 上の積を与える構成である。

構成はまずコチェイン（英語版）の積から考える。c^p が p-コチェインで d^q が q-コチェインのとき、

${\displaystyle (c^{p}\smile d^{q})(\sigma )=c^{p}(\sigma \circ \iota _{0,1,...p})\cdot d^{q}(\sigma \circ \iota _{p,p+1,...,p+q})}$

とする。ここで σ は特異 (p + q) -単体で、${\displaystyle \iota _{S},S\subset \{0,1,...,p+q\}}$ は頂点が ${\displaystyle \{0,...,p+q\}}$ によって添え字付けられている ${\displaystyle (p+q)}$-単体の中への S によって張られた単体の標準的な埋め込みである。

インフォーマルには、${\displaystyle \sigma \circ \iota _{0,1,...,p}}$ は σ の p 番目の前面であり、${\displaystyle \sigma \circ \iota _{p,p+1,...,p+q}}$ は q 番目の後面である。

コサイクル c^p および d^q のカップ積のコバウンダリは

${\displaystyle \delta (c^{p}\smile d^{q})=\delta {c^{p}}\smile d^{q}+(-1)^{p}(c^{p}\smile \delta {d^{q}})}$

によって与えられる。2つのコサイクルのカップ積は再びコサイクルであり、コバウンダリとコサイクルの積は（どちらの順でも）コバウンダリである。したがってカップ積はコホモロジー上の双線型演算

${\displaystyle H^{p}(X)\times H^{q}(X)\to H^{p+q}(X)}$

を誘導する。

コホモロジーのカップ積は恒等式

${\displaystyle \alpha ^{p}\smile \beta ^{q}=(-1)^{pq}(\beta ^{q}\smile \alpha ^{p})}$

を満たすので対応する積は次数付き可換（英語版） (graded-commutative) である。

カップ積は次の意味で関手的である。

${\displaystyle f\colon X\to Y}$

が連続写像であり、

${\displaystyle f^{*}\colon H^{*}(Y)\to H^{*}(X)}$

がコホモロジーに誘導された準同型であれば、

${\displaystyle f^{*}(\alpha \smile \beta )=f^{*}(\alpha )\smile f^{*}(\beta ),}$

が全ての類 α, β ∈ H ^*(Y) に対して成り立つ。言い換えると、f ^* は（次数付き）環準同型である。

ド・ラームコホモロジーにおいて、微分形式のカップ積はウェッジ積によって誘導される。言い換えると、2つの閉形式のウェッジ積は2つのもとのド・ラーム類のカップ積のド・ラーム類に属する。

滑らかな多様体の2つの部分多様体が横断的に交わるとき、その交叉は再び部分多様体である。これらの多様体の基本ホモロジー類をとることによって、これはホモロジーに双線型な積をもたらす。この積はカップ積に双対である、すなわち2つの部分多様体の交叉のホモロジー類はそれらのポワンカレ双対のカップ積のポワンカレ双対である。

同様に、絡み数は、次元を1ずらして交叉のことばで定義することもできるし、絡み目の補集合上の消えないカップ積のことばでも定義できる。