ガリレイ不変性

ニュートンの理論の公理には次のようなものがある：^[1]

1. ニュートンの法則が成り立つ絶対空間が存在する。慣性系とは、絶対空間に対して相対的に一様な運動をする基準系のことである。
2. すべての慣性系は共通の時間を共有する。

ガリレイ相対性理論は次のように示すことができる。2つの慣性系SとS'を考える。Sにおける物理的事象は、Sにおける位置座標r = (x, y, z)と時間tを持ち、S'における位置座標r' = (x' , y' , z' )と時間t'を持つ。上の2番目の公理によって、2つのフレームのクロックを同期させ、t = t' と仮定することができる。S'がSに対して速度vで相対的に一様運動しているとする。S'におけるr' (t)とSにおけるr(t)の関数によって位置が与えられる点物体を考える。

${\displaystyle r'(t)=r(t)-vt.\,}$

粒子の速度は、位置の時間微分によって与えられる：

${\displaystyle u'(t)={\frac {d}{dt}}r'(t)={\frac {d}{dt}}r(t)-v=u(t)-v.}$

もう一回の微分は、2つの基準系における加速度を与える：

${\displaystyle a'(t)={\frac {d}{dt}}u'(t)={\frac {d}{dt}}u(t)-0=a(t).}$

ある特定の状況において、電磁場で使用できる2つの一貫したガリレイ変換がある。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {H^{'}} &=\mathbf {H} \\\mathbf {J_{f}^{'}} &=\mathbf {J_{f}} \\\mathbf {B^{'}} &=\mathbf {B} \\\mathbf {M^{'}} &=\mathbf {M} \\\mathbf {E^{'}} &=\mathbf {E} +v^{\mathbf {r} }\times \mathbf {B} \\\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E^{'}} &=\mathbf {E} \\\mathbf {D^{'}} &=\mathbf {D} \\\mathbf {\rho _{f}^{'}} &=\mathbf {\rho _{f}} \\\mathbf {P^{'}} &=\mathbf {P} \\\mathbf {H^{'}} &=\mathbf {H} -v^{\mathbf {r} }\times \mathbf {D} \\\mathbf {J_{f}^{'}} &=\mathbf {J_{f}} -\rho _{\mathbf {f} }v^{\mathbf {r} }\\\end{aligned}}}$$