キャプスタン方程式

最初のステップは、キャプスタンに巻き付くロープの任意の点での、半径方向の力（垂直抗力） ${\displaystyle F}$（ニュートン毎ラジアン） を図に示すような張力 ${\displaystyle T}$（ニュートン）と結び付けることである。キャプスタンがロープに与える y 軸上向きの力 ${\displaystyle F}$ は、ロープの張力の y 軸下向き成分 ${\displaystyle T_{\text{load}}\sin(\varphi )}$ と等しい。

${\displaystyle F=T_{\text{load}}\sin(\varphi )}$

${\displaystyle \varphi }$ を0に近づけるとき（微小角度近似）、${\displaystyle \sin(d\varphi )=d\varphi }$ となり、

${\displaystyle T_{\text{hold}}=T_{\text{load}}=T}$

${\displaystyle F=Td\varphi }$

よって角度 ${\displaystyle d\varphi }$ の間にはたらく摩擦力は

${\displaystyle \mu {F}=\mu {T}d\varphi }$ （${\displaystyle \mu }$ は摩擦係数）

となる。角度 ${\displaystyle d\varphi }$ の間の張力の増し高 ${\displaystyle dT}$ はこの区間にはたらく摩擦力に等しいから

${\displaystyle dT=\mu {T}d\varphi }$

${\displaystyle {\frac {1}{T}}dT=\mu d\varphi }$

両辺を積分して

${\displaystyle \int _{T_{\text{hold}}}^{T_{\text{load}}}{\frac {1}{T}}\;{dT}=\int _{0}^{\phi }\mu \;{d}\varphi }$

${\displaystyle \ln T_{\text{load}}-\ln T_{\text{hold}}=\ln {\frac {T_{\text{load}}}{T_{\text{hold}}}}=\mu \phi }$

両辺の指数をとって

${\displaystyle {\frac {T_{\text{load}}}{T_{\text{hold}}}}={e}^{\mu \phi }}$

最終的に次式が得られる。

${\displaystyle T_{\text{load}}=T_{\text{hold}}{e}^{\mu \phi }}$

Vベルトに対するベルト摩擦方程式は

${\displaystyle T_{\text{load}}=T_{\text{hold}}{e}^{\mu \phi /\sin(\alpha /2)}}$

ここで ${\displaystyle \alpha }$ はVベルトが相対するプーリーを挟む2枚のベルトがなす角（ラジアン）である^[5]。${\displaystyle \alpha =\pi }$ のところで効果的になる。

Vベルトや複数のVベルトが組み合わさったサーペンタインベルトでは、負荷が増すにつれてベルトがプーリーの溝に食い込んでいき（wedge into, くさびのようになり）、これがトルクの伝動効率を高めている^[6]。

同じ力を伝動をするのに、Vベルトは平ベルトと比べて張力がより小さくて済み、軸受の寿命を長くすることができる^[5]。

• ベルト摩擦（英語版）
• 摩擦接触力学（英語版）