クザン問題

第二クザン問題(the second Cousin problem)、もしくは乗法的クザン問題(multiplicative Cousin problem)は、それぞれの函数の比

${\displaystyle f_{i}/f_{j}}$

が定義されるところで零点を持たない正則函数であると仮定したとき、M 上の有理型函数 f で U_i 上

${\displaystyle f/f_{i}}$

が零点を持たず正則となるものが存在するか、という問題である。第二クザン問題は、与えられた零点を持つ一変数正則函数の存在についてのヴァイエルシュトラスの定理の多次元への一般化となっている。

第二クザン問題を対数により加法的問題へ還元する試みは、一次チャーン類という形で障害へ行き当たる。（指数層系列を参照。）層の言葉で、O^∗ を零点を持たない正則函数の層とし、K^∗ を 0 函数でない有理型函数の層とする。これらは双方ともアーベル群の層であり、商層 K^∗/O^∗ もうまく定義できる。すると加法的クザン問題は商写像 φ

${\displaystyle H^{0}(M,\mathbf {K} ^{*}){\xrightarrow {\phi }}H^{0}(M,\mathbf {K} ^{*}/\mathbf {O} ^{*})}$

の像の特徴付けと言い換えられる。

この商に付随する層コホモロジーの長完全系列は

${\displaystyle H^{0}(M,\mathbf {K} ^{*}){\xrightarrow {\phi }}H^{0}(M,\mathbf {K} ^{*}/\mathbf {O} ^{*})\to H^{1}(M,\mathbf {O} ^{*})}$

であるので、第二クザン問題は H¹(M,O^∗) = 0 である全ての場合に解くことができる。商層 K^∗/O^∗ は M 上のカルティエ因子の芽の層に等しい。従って、すべての大域切断が有理型函数により生成されるかという問題は、M 上のすべての直線束が自明束であるか否かを決定することと同値である。

乗法群の層としての O^∗ のコホモロジー群 H¹(M,O^∗) は、対数をとることにより、加法群の層としてのコホモロジー群 H¹(M,O) と比較することができる。すなわち、層の完全系列:${\displaystyle 0\to 2\pi i\mathbb {Z} \to \mathbf {O} {\xrightarrow {\exp }}\mathbf {O} ^{*}\to 0}$ が存在する。ここで最も左の層は、ファイバー ${\displaystyle 2\pi i\mathbb {Z} }$ をもつ局所定数層である。H¹ の中で対数を定義するための障害は、コホモロジーの長完全系列

${\displaystyle H^{1}(M,\mathbf {O} )\to H^{1}(M,\mathbf {O} ^{*})\to 2\pi iH^{2}(M,\mathbb {Z} )\to H^{2}(M,\mathbf {O} )}$

により、${\displaystyle H^{2}(M,\mathbb {Z} )}$ の中にあると言える。M がシュタイン多様体のとき ${\displaystyle q>0}$ に対してH^q(M,O) = 0 であるので、中央の射は同型射となる。従ってこの場合、第二クザン問題が常に解けるための必要充分条件は${\displaystyle H^{2}(M,\mathbb {Z} )=0}$ である。

• カルタンの定理 A, B

• Chirka, E.M. (2001) [1994], “Cousin problems”, Encyclopedia of Mathematics, EMS Press.
• Cousin, P. (1895), “Sur les fonctions de n variables”, Acta Math. 19: 1–62, doi:10.1007/BF02402869 .
• Gunning, Robert C.; Rossi, Hugo (1965), Analytic Functions of Several Complex Variables, Prentice Hall .
• 野口, 潤次郎 (2013), 多変数解析関数論, 朝倉書店, ISBN 9784254111392 .