ミッタク＝レフラーの定理

D を C の開集合とし、E ⊂ D を閉離散部分集合とする。各々の a ∈ E に対し、p_a(z) を 1/(z−a) の多項式とする。このとき D 上の有理型関数 f であって任意の a ∈ E に対して関数 f(z) − p_a(z) が a において正則であるようなものが存在する。とくに、f の a における主要部は p_a(z) である。

1つの証明の概略は以下のようになる。E が有限であれば

${\displaystyle f(z)=\sum _{a\in E}p_{a}(z)}$

ととればよいことに注意する。E が有限でなければ、E の有限部分集合 F に対し有限和

${\displaystyle S_{F}(z)=\sum _{a\in F}p_{a}(z)}$

を考える。F が E に近づくときに S_F(z) は収束しないかもしれないが、（ルンゲの定理により）D の外部に極を持つ有理関数をうまく選んで S_F(z) の主要部を変えることなしに引くことができ、そうして収束は保証される。

すべての正の整数において留数 1 の一位の極を持つ有理型関数を求めよう。上記の記法を使い、p_k = 1/(z−k), E = Z⁺ = {1, 2, 3, ...} とおくと、ミッタク＝レフラーの定理は、各々の正の整数 k に対し、z = k での主要部が p_k(z) であるような有理型関数 f が存在することを（構成的ではないが）言っている。この f は所望の性質を持っている。より構成的には、

${\displaystyle f(z)=z\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k(z-k)}}}$

とおくことができる。この級数は所望の性質を持つ有理型関数に C 上正規収束（英語版）する（M-判定法を用いて証明できる）。

有理型関数の極展開の例をいくつか挙げる：

${\displaystyle {\frac {1}{\sin z}}=\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {(-1)^{n}}{z-n\pi }}={\frac {1}{z}}+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {2z}{z^{2}-n^{2}\pi ^{2}}}}$

${\displaystyle \cot z\equiv {\frac {\cos z}{\sin z}}=\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {1}{z-n\pi }}={\frac {1}{z}}+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {2z}{z^{2}-k^{2}\pi ^{2}}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{\sin ^{2}z}}=\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {1}{(z-n\pi )^{2}}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{z\sin z}}={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{n\neq 0}{\frac {(-1)^{n}}{\pi n(z-\pi n)}}={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n\pi }}{\frac {2z}{z^{2}-\pi ^{2}n^{2}}}}$