クライン変換

${\displaystyle \varphi }$ と が場であり、x とy が空間的に分離された点とし、i とj がスピノル/テンソルの添字である場合、

${\displaystyle [\varphi '_{i}(x),\varphi '_{j}(y)]=[\chi '_{i}(x),\chi '_{j}(y)]=[\varphi '_{i}(x),\chi '_{j}(y)]=0.\,}$

となる。

そして${\displaystyle \chi }$がZ₂パリティ(空間反射とは関係ない) という変換、すなわち ${\displaystyle \chi }$ が ${\displaystyle -\chi }$ となり${\displaystyle \varphi }$が不変となる変換である。自由場理論は常にこの性質を満たしている。そして、${\displaystyle \chi }$粒子の数のZ₂ パリティは明確に定義されており、時間に対して保存されている。このパリティをK_χ を演算子であるとする。 Kχ は、χ に対して偶の状態をそのままに保ち、奇の状態を符号反転させる。 そしてK_χ は対合で、エルミート でありユニタリーである。

場 ${\displaystyle \varphi }$ と${\displaystyle \chi }$ 以上はボソンかフェルミオンのどちらかのいずれについても適切な統計関係を持っていない。これは、自身に関してはボソニックであるが、互いにフェルミオニックであることを意味する。それらの統計的特性は、単独でみると、ボース・アインシュタイン統計と同じ統計を持っている。理由は次のようになる。

２つの新しい場${\displaystyle \varphi '}$ と${\displaystyle \chi '}$を定義し次のようにする。

${\displaystyle \varphi '=iK_{\chi }\varphi \,}$

それから

${\displaystyle \chi '=K_{\chi }\chi .\,}$

この再定義は交換可能である。 (K_χ は非可換であるため）空間的な可換関係は、

${\displaystyle [\varphi _{i}(x),\varphi _{j}(y)]=[\chi _{i}(x),\chi _{j}(y)]=\{\varphi _{i}(x),\chi _{j}(y)\}=0.}$