グロス＝コブリッツの公式

グロス＝コブリッツの公式とは、ガウス和 τ を p-進ガンマ関数 Γ_p によって表現した次の式のことを言う。^[1]

${\displaystyle \tau _{q}(r)=-\pi ^{s_{p}(r)}\prod _{0\leq i<f}\Gamma _{p}(r^{(i)}/(q-1)).}$

但し記号は次のようなものとする。

• q は素数 p のべき p^f。
• r は 0 ≤ r < q − 1 を満たす整数。
• r⁽ⁱ⁾ は r の p-進展開の i-回反復ドワークシフト(Dwork's shift)^{[* 1]}
• s_p(r) は r の p-進展開における各位の数の和。
• τ は次のガウス和。

${\displaystyle \tau _{q}(r)=\sum _{a^{q-1}=1}a^{-r}\zeta _{\pi }^{{\text{Tr}}(a)}.}$

ただしこの和は拡大 Q_p(π) 内の 1 の冪根について取られる。

• Γ_p は p 進ガンマ関数。
• π は π^{p − 1} = −p を満たすもの。
• ζ_π は π² を法として 1+π と合同な、1 の p 乗根。

• Boyarsky, Maurizio (1980), “p-adic gamma functions and Dwork cohomology”, Transactions of the American Mathematical Society 257 (2): 359–369, doi:10.2307/1998301, ISSN 0002-9947, MR552263, https://doi.org/10.2307/1998301 
• Cohen, Henri (2007). Number Theory – Volume II: Analytic and Modern Tools. Graduate Texts in Mathematics. 240. Springer-Verlag. pp. 383–395. ISBN 978-0-387-49893-5. Zbl 1119.11002 
• Gross, Benedict H.; Koblitz, Neal (1979), “Gauss sums and the p-adic Γ-function”, Annals of Mathematics. Second Series 109 (3): 569–581, doi:10.2307/1971226, ISSN 0003-486X, MR534763, https://doi.org/10.2307/1971226 
• Robert, Alain M. (2001), “The Gross-Koblitz formula revisited”, Rendiconti del Seminario Matematico della Università di Padova. The Mathematical Journal of the University of Padova 105: 157–170, ISSN 0041-8994, MR1834987, http://www.numdam.org/item?id=RSMUP_2001__105__157_0