ケンプナー級数

ケンプナーによる証明^[4]は、ハーディとライト（英語版）の書籍^[7]:120、アポストルの書籍^[8]:212など複数の本で紹介されている。級数の各項を桁数によって分類する。位に9を持たないn桁の数の個数は、上1桁の位に1から8、他n − 1桁の位に0から8を選ぶ方法の個数8 × 9^{n − 1}と等しい。また、n桁の数はいずれも10^{n − 1}以上であるから、その逆数は10^{1 − n}以下である。したがって位に9を持たないn桁の数の逆数和は8 × (9/10)^{n − 1}より小さい。8 × (9/10)^{n − 1}の総和は収束し、

$${\displaystyle 8\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {9}{10}}\right)^{n-1}=80}$$

であるからケンプナー級数は80以下に収束する。同様の方法で0でない1桁の数字d（アラビア数字1, 2, 3,...,9）において、位に数字dを含む数を除外した級数の収束も考えることができる。0を除外する場合は上1桁を場合分けして考えなくともよく、n桁の0を持たない数の個数は9ⁿ個あるので、その逆数和は、

$${\displaystyle 9\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {9}{10}}\right)^{n-1}=90}$$

より小さいことが分かる。先に示した42の場合など、任意k桁の数dを除外するときも、級数は収束する。証明方法も1桁の数字を位に持つ場合と同様である^[6]。 まず、10^k進法で数を表現したときに、10^k進法で表された「d」を位に持つ数を10進法の場合と同様に除外する。数を10進数に戻すと、級数にはdを持たない数と、dを持つもののdが「k桁」境界にない（10進法で数をk桁ごとに区切ったときdが区切りをまたぐ）数が存在している。dを持たない数のみを含む級数は、dをk桁境界に持たない数も含む収束級数よりも小さいので、収束する。例えば、d = 42では100進法において、（100進法で表された）「42」を除外する操作を行うが、このとき4217（= 42 × 100 + 17）や1742（= 17 × 100 + 42）は除外されるのに対し、1427（= 14 × 100 + 27）は除外されない。

ファリ (Farhi) はケンプナー級数を一般化し、1桁の数dが、位の数字にn回出現する正整数の逆数和S(d, n)^[9] を考えた。S(9, 0)がケンプナー級数にあたる。ファリによれば、任意のdにおいて、n ≥ 1を変数とする数列S(d, n)は単調減少し10 ln(10)に収束する。数列をn = 0から始めた場合では必ずしも単調減少するわけではない。例えば、ケンプナー級数の収束値S(9, 0) ≈ 22.921 < 23.026 ≈ 10 ln(10) < S(9, n)（n ≥ 1）である。

ケンプナー級数の収束は非常に遅い。ベイリーによれば、10²⁴項まで計算したとしても収束値との誤差は1より大きい^[5][10]。

ケンプナーにより示された上界80は非常に粗い。1916年に、アーウィン (Irwin) は収束値が22.4から23.3の間であることを示した^[11]。その後、上記の値22.92067...に洗練された^[5]。

ベイリーはj乗の逆数和を考え、k + 1桁の数のj乗の寄与を、k桁の数をより大きい数で冪演算した値によって表現する方法を考案した^[5]。 この方法を用いてj = 1に帰着することで、より少ない計算回数によるケンプナー級数の算出を可能にした。

1916年、アーウィンはケンプナーの結果を一般化した^[11]。kを非負整数とする。ある数dがnの位の数にk回以下出現するようなnの逆数和は収束する。

例えば、d = 9, k = 1とすると、9を含まないあるいは1つ含む数の逆数和となり、これは収束する。ケンプナー級数（d = 9, k = 0）は収束するので、9をただ1度含む数の逆数和も収束することが分かる。ベイリーは9をただ1度含む数の逆数和は約23.04428708074784831968に収束することを発見した^[12]。