コクラン・オーカット法

Summarize Timeline Fact Check

以下のモデルを考慮する

${\displaystyle y_{t}=\alpha +X_{t}\beta +\varepsilon _{t},\,}$

ここで、 ${\displaystyle y_{t}}$ は、時刻 t における関心のある 従属変数 の値であり、 ${\displaystyle \beta }$は推定対象の係数列ベクトルである。${\displaystyle X_{t}}$は時刻 t における 説明変数 の行ベクトルであり、${\displaystyle \varepsilon _{t}}$は時刻 t における 誤差項である。例えば、ダービン・ワトソン統計量を通じて、誤差項が時間的に連続相関を有すると判明した場合、 通常の回帰分析に適用される標準的な統計的推論は無効となる。なぜなら、標準誤差はバイアスを伴って推定されるからである。この問題を回避するには、残差をモデル化する必要があります。残差を生成するプロセスが、定常一次自己回帰構造^[2]、${\displaystyle \varepsilon _{t}=\rho \varepsilon _{t-1}+e_{t},\ |\rho |<1}$, 誤差 ${\displaystyle \varepsilon _{t}}$が 白色雑音である場合、コークラン・オーカット法を用いて準差分を取ることでモデルを変換できる：

${\displaystyle y_{t}-\rho y_{t-1}=\alpha (1-\rho )+(X_{t}-\rho X_{t-1})\beta +e_{t}.\,}$

本仕様では誤差項は白色雑音であるため、統計的推論が有効である。 次に、残差の二乗和（ ${\displaystyle e_{t}^{2}}$の推定値の二乗和）を、${\displaystyle \rho }$を条件として、${\displaystyle (\alpha ,\beta )}$に関して最小化する。

コクランとオーカットが提案した変換は時系列の最初の観測値を無視するため、小標本では著しい効率の損失を引き起こす^[3]。優れた変換法として、最初の観測値を${\displaystyle {\sqrt {(1-\rho ^{2})}}}$を重みで保持する手法が、Prais and Winstenによって最初に提案され^[4]、後に Kadilaya によって独立して提案された^[5]。

${\displaystyle \rho }$が未知の場合、まず変換前のモデルを回帰分析し残差{${\displaystyle {\hat {\varepsilon }}_{t}}$}を取得した後、 次に${\displaystyle {\hat {\varepsilon }}_{t}}$を${\displaystyle {\hat {\varepsilon }}_{t-1}}$で回帰分析し、 ${\displaystyle \rho }$の推定値を得る。これにより、上述の変換済み回帰分析が可能となる。（この回帰では最初のデータポイント1つが失われることに注意。）推定残差の自己回帰処理は一度実行可能であり、その結果得られるの値は変換されたy回帰に用いるか、あるいは残差の自己回帰の残差自体を、${\displaystyle \rho }$の推定値に実質的な変化が観察されなくなるまで順次自己回帰させ続けることができる。反復的なコクラン・オーカット法は、残差平方和の局所的最小値には収束する可能性があるが、極値には収束しない場合がある。この問題は、代わりにPrais–Winsten変換を使用すると解消され、初期観測値が保持される。