コンウェイの記法 (幾何学)

${\displaystyle S=bc\sin A=ac\sin B=ab\sin C\,}$

ここでSは三角形の2倍の面積である。

${\displaystyle S_{\varphi }=S\cot \varphi .\,}$

は特定の面積を表すのに用いられる。例えば

${\displaystyle S_{A}=S\cot A=bc\cos A={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2}}\,}$

${\displaystyle S_{B}=S\cot B=ac\cos B={\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2}}\,}$

${\displaystyle S_{C}=S\cot C=ab\cos C={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2}}\,}$

${\displaystyle S_{\omega }=S\cot \omega ={\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2}}\,}$

ここで、 ${\displaystyle \omega \,}$はブロカール角である。

${\displaystyle S_{\frac {\pi }{3}}=S\cot {\frac {\pi }{3}}=S{\frac {\sqrt {3}}{3}}\,}$

${\displaystyle S_{2\varphi }={\frac {S_{\varphi }^{2}-S^{2}}{2S_{\varphi }}}\quad \quad S_{\frac {\varphi }{2}}=S_{\varphi }+{\sqrt {S_{\varphi }^{2}+S^{2}}}\,}$

ただし ${\displaystyle 0<\varphi <\pi \,}$

${\displaystyle S_{\vartheta +\varphi }={\frac {S_{\vartheta }S_{\varphi }-S^{2}}{S_{\vartheta }+S_{\varphi }}}\quad \quad S_{\vartheta -\varphi }={\frac {S_{\vartheta }S_{\varphi }+S^{2}}{S_{\varphi }-S_{\vartheta }}}\,.}$

${\displaystyle S_{\vartheta }S_{\varphi }=S_{\vartheta \varphi }\,}$、${\displaystyle S_{\vartheta }S_{\varphi }S_{\psi }=S_{\vartheta \varphi \psi }}$と書くと以下の等式が成り立つ。

${\displaystyle \sin A={\frac {S}{bc}}={\frac {S}{\sqrt {S_{A}^{2}+S^{2}}}}\quad \quad \cos A={\frac {S_{A}}{bc}}={\frac {S_{A}}{\sqrt {S_{A}^{2}+S^{2}}}}\quad \quad \tan A={\frac {S}{S_{A}}}\,}$

${\displaystyle a^{2}=S_{B}+S_{C}\quad \quad b^{2}=S_{A}+S_{C}\quad \quad c^{2}=S_{A}+S_{B}\,.}$

${\displaystyle \sum _{\text{cyclic}}S_{A}=S_{\omega }}$

${\displaystyle S_{BC}=S_{B}S_{C}=S^{2}-a^{2}S_{A}\quad \quad S_{AC}=S_{A}S_{C}=S^{2}-b^{2}S_{B}\quad \quad S_{AB}=S_{A}S_{B}=S^{2}-c^{2}S_{C}\,}$

${\displaystyle \quad \quad \sum _{\text{cyclic}}a^{4}=2(S_{\omega }^{2}-S^{2})\quad \quad \sum _{\text{cyclic}}S_{A}^{2}=S_{\omega }^{2}-2S^{2}\quad \quad \sum _{\text{cyclic}}b^{2}c^{2}=S_{\omega }^{2}+S^{2}\,.}$

下の二式はコンウェイの恒等式と呼ばれる^[1]。

${\displaystyle S^{2}=b^{2}c^{2}-S_{A}^{2}=a^{2}c^{2}-S_{B}^{2}=a^{2}b^{2}-S_{C}^{2}}$

${\displaystyle S^{2}=S_{AB}+S_{BC}+S_{CA}=S_{BC}+a^{2}S_{A}={\frac {1}{2}}\sum _{\text{cyclic}}a^{2}S_{A}={\frac {1}{2}}(a^{2}S_{A}+b^{2}S_{B}+c^{2}S_{C})}$

R を外接円の半径とするとabc=2SRが成り立つ。また、r を内接円の半径、sを半周長とすると、 ${\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}},a+b+c={\frac {S}{r}}}$ が成り立つ。

${\displaystyle S_{ABC}=S_{A}S_{B}S_{C}=S^{2}(S_{\omega }-4R^{2})\quad \quad S_{\omega }=s^{2}-r^{2}-4rR\,}$${\displaystyle \sin A\sin B\sin C={\frac {S}{4R^{2}}}\quad \quad \cos A\cos B\cos C={\frac {S_{\omega }-4R^{2}}{4R^{2}}}}$

${\displaystyle \sum _{\text{cyclic}}\sin A={\frac {S}{2Rr}}={\frac {s}{R}}\quad \quad \sum _{\text{cyclic}}\cos A={\frac {r+R}{R}}\quad \quad \sum _{\text{cyclic}}\tan A={\frac {S}{S_{\omega }-4R^{2}}}=\tan A\tan B\tan C\,.}$

コンウェイの記法の用例を見てみよう。

二点P,Qの三線座標をそれぞれ(p_a: p_b: p_c) ,(q_a: q_b: q_c) とし、また、K_p = ap_a + bp_b + cp_c ,K_q = aq_a + bq_b + cq_cなどと書く。 二点の距離Dについて、以下の式が成り立つ^[4]。

${\displaystyle D^{2}=\sum _{\text{cyclic}}a^{2}S_{A}\left({\frac {p_{a}}{K_{p}}}-{\frac {q_{a}}{K_{q}}}\right)^{2}\,.}$

Pを垂心、Qを外心として、外心と垂心の距離を求める。 p_a=aS_a ,q_a=S_bS_c/aが成り立つので^[1]、

${\displaystyle K_{p}=\sum _{\text{cyclic}}a^{2}S_{A}=2S^{2}\quad \quad K_{q}=\sum _{\text{cyclic}}S_{B}S_{C}=S^{2}\,.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}D^{2}&{}=\sum _{\text{cyclic}}a^{2}S_{A}\left({\frac {aS_{A}}{2S^{2}}}-{\frac {S_{B}S_{C}}{aS^{2}}}\right)^{2}\\&{}={\frac {1}{4S^{4}}}\sum _{\text{cyclic}}a^{4}S_{A}^{3}-{\frac {S_{A}S_{B}S_{C}}{S^{4}}}\sum _{\text{cyclic}}a^{2}S_{A}+{\frac {S_{A}S_{B}S_{C}}{S^{4}}}\sum _{\text{cyclic}}S_{B}S_{C}\\&{}={\frac {1}{4S^{4}}}\sum _{\text{cyclic}}a^{2}S_{A}^{2}(S^{2}-S_{B}S_{C})-2(S_{\omega }-4R^{2})+(S_{\omega }-4R^{2})\\&{}={\frac {1}{4S^{2}}}\sum _{\text{cyclic}}a^{2}S_{A}^{2}-{\frac {S_{A}S_{B}S_{C}}{S^{4}}}\sum _{\text{cyclic}}a^{2}S_{A}-(S_{\omega }-4R^{2})\\&{}={\frac {1}{4S^{2}}}\sum _{\text{cyclic}}a^{2}(b^{2}c^{2}-S^{2})-{\frac {1}{2}}(S_{\omega }-4R^{2})-(S_{\omega }-4R^{2})\\&{}={\frac {3a^{2}b^{2}c^{2}}{4S^{2}}}-{\frac {1}{4}}\sum _{\text{cyclic}}a^{2}-{\frac {3}{2}}(S_{\omega }-4R^{2})\\&{}=3R^{2}-{\frac {1}{2}}S_{\omega }-{\frac {3}{2}}S_{\omega }+6R^{2}\\&{}=9R^{2}-2S_{\omega }.\end{aligned}}}$

このようにして、外心と垂心の距離を求めることができた^[5]。

${\displaystyle OH={\sqrt {9R^{2}-2S_{\omega }\,}}.}$