コーシーの積分公式

具体的な例として関数は

${\displaystyle g(z)={\frac {z^{2}}{z^{2}+2z+2}}}$

と経路Cは|z| = 2(つまり半径2の円)とする。 関数g(z)について経路Cの積分を求めるため、g(z)の特異点を知る必要がある。 次のようにg(z)を書き換えることができることに注意して

${\displaystyle g(z)={\frac {z^{2}}{(z-z_{1})(z-z_{2})}}}$

ここで ${\displaystyle z_{1}=-1+i,}$ ${\displaystyle z_{2}=-1-i.}$である。

よって, g(z)は${\displaystyle z_{1}}$と${\displaystyle z_{2}}$に極を持つ。 この極の絶対値は2よりも小さいため、経路Cより内側にある。 この積分はコーシーの積分定理により2つの積分に分割できる。

経路Cの積分はz₁ と z₂の各極周囲の小さな円の経路積分の和で表される。 それぞれz₁周囲の経路C₁とz₂周囲の経路C₂と呼ぶ。これらのそれぞれ積分は、コーシー積分公式により解くことができるが、それらを公式が適用できるよう書き直す必要がある。

C₁周囲の積分は、f₁(z) = (z − z₁)g(z)により与えられる。 これは正則関数である（経路内に他の特異点が含まれていないため）。 単純化するため f₁ を

${\displaystyle f_{1}(z)={\frac {z^{2}}{z-z_{2}}}}$

とすると、

${\displaystyle g(z)={\frac {f_{1}(z)}{z-z_{1}}}.}$

コーシーの積分定理より

${\displaystyle \oint _{C}{\frac {f_{1}(z)}{z-a}}\,dz=2\pi i\cdot f_{1}(a),}$

積分を次のように評価できる。

${\displaystyle \oint _{C_{1}}g(z)\,dz=\oint _{C_{1}}{\frac {f_{1}(z)}{z-z_{1}}}\,dz=2\pi i{\frac {z_{1}^{2}}{z_{1}-z_{2}}}.}$

もう一方の経路に対しても同様に行う。

${\displaystyle f_{2}(z)={\frac {z^{2}}{z-z_{1}}},}$

${\displaystyle \oint _{C_{2}}g(z)\,dz=\oint _{C_{2}}{\frac {f_{2}(z)}{z-z_{2}}}\,dz=2\pi i{\frac {z_{2}^{2}}{z_{2}-z_{1}}}.}$

元の経路Cの積分は、これらの2つの積分の合計である。

${\displaystyle {\begin{aligned}\oint _{C}g(z)\,dz&{}=\oint _{C_{1}}g(z)\,dz+\oint _{C_{2}}g(z)\,dz\\[.5em]&{}=2\pi i\left({\frac {z_{1}^{2}}{z_{1}-z_{2}}}+{\frac {z_{2}^{2}}{z_{2}-z_{1}}}\right)\\[.5em]&{}=2\pi i(-2)\\[.3em]&{}=-4\pi i.\end{aligned}}}$

他の解法では部分分数分解を使った初歩的な技法により積分が求められる。

${\displaystyle \oint _{C}g(z)\,dz=\oint _{C}\left(1-{\frac {1}{z-z_{1}}}-{\frac {1}{z-z_{2}}}\right)\,dz=0-2\pi i-2\pi i=-4\pi i}$

• Ahlfors, Lars (1979), Complex analysis (3rd ed.), McGraw Hill, ISBN 978-0-07-000657-7 .
• D. Pompeiu, Sur la continuité des fonctions de variables complexes, Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse Sér. 2, 7 no. 3 (1905), pp. 265–315
• Titchmarsh, E.C. (1939), Theory of functions (2nd ed.), Oxford University Press 
• Hörmander, Lars (1966), An introduction to complex analysis in several variables, Van Nostrand 
• Hörmander, Lars (1983), The Analysis of Linear Partial Differential Operators I, Springer, ISBN 3-540-12104-8 
• Doran, Chris; Lasenby, Anthony (2003), Geometric Algebra for Physicists, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-71595-9 

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