コーシー＝コワレフスカヤの定理

(t, x) = (t, x₁, x₂,..., x_n)を、n+1次元実ベクトル空間Rⁿ⁺¹（もしくはn+1次元複素ベクトル空間Cⁿ⁺¹）の点とし、次の形の偏微分方程式系

${\displaystyle {\frac {\partial ^{p_{i}}u_{i}}{\partial t^{p_{i}}}}=F_{i}{\biggl (}t,x,u_{1},u_{2},\dotsc ,u_{m},\dotsc ,{\frac {\partial ^{|\nu |}u_{j}}{\partial t^{\nu _{0}}\partial x_{1}^{\nu _{1}}\dotsb \partial x_{n}^{\nu _{n}}}},\dotsc ,{\biggr )}\quad (1\leq i,j,\leq m)}$

${\displaystyle \quad |\nu |=\nu _{1}+\nu _{1}+\dotsb +\nu _{n}\leq p_{j},\quad \nu _{0}<p_{j}}$

を初期条件

${\displaystyle {\frac {\partial ^{k}u_{i}}{\partial t^{k}}}(0,x)=w_{ik}(x)\quad (1\leq i\leq m,0\leq k\leq p_{i}-1)}$

の下に考える。各F_i (1 ≤ i ≤ m)は、左辺に現れる${\displaystyle \partial ^{p_{i}}u_{i}/\partial t^{p_{i}}}$の項は含まず、正規形(normal form)であるとする。

ここでF_i (1 ≤ i ≤ m)は、全変数${\displaystyle t,x,u_{1},\dotsc ,u_{m},\dotsc ,(\partial ^{|\nu |}u_{j}/\partial t^{\nu _{0}}\partial x_{1}^{\nu _{1}}\dotsb \partial x_{n}^{\nu _{n}}),\dotsc }$について、(0,0,...,0)の近傍で収束べき級数を持つ、すなわち解析的（C^ω級）であるとし、w_ik(x) (1 ≤ i ≤ m, 0 ≤ k ≤ p_i-1)もx=0の近傍で解析的であるとする。このとき、上記の偏微分方程式の初期問題を満たす解析的な解u_i(t, x) (1 ≤ i ≤ m)が(t,x)=(0,0)の近傍で一意的に存在する。