サイバーグ・ウィッテン不変量

解の空間にはゲージ群が作用し、この作用による商をモノポールのモジュライ空間(moduli space)と呼ぶ。

モジュライ空間は、通常多様体である。解は、${\displaystyle \phi =0}$ と同値なゲージ群の非自明な元により固定されるとき、既約(reducible)な解と呼ぶ。M 上の計量と自己双対 2-形式 ${\displaystyle \omega }$ に対し既約な解である必要十分条件は、行列式ラインバンドルのコホモロジー類の調和形式の代表元の自己双対部分が、${\displaystyle \omega /2\pi }$ の調和的な部分となることである。モジュライ空間は既約モノポールを除外すると多様体である。従って、b₂⁺(M) ≥ 1 であれば、モジュライ空間は、（空でもよい）元の計量を持つ多様体である。さらに、すべての成分は、次元

${\displaystyle (c_{1}(s)^{2}-2\chi (M)-3sign(M))/4}$

を持つ。

モジュライ空間は高々有限個の spin^c 構造に対し、空であり、常にコンパクトである。

多様体 M が単純型とは、モジュライ空間がすべての s に対し有限である場合をいう。単純型予想(simple type conjecture)は、M が単連結で b₂⁺(M) ≥ 2 であれば、モジュライ空間は有限であるという予想である。この予想はシンプレクティック多様体に対しては正しい。b₂⁺(M) = 1 であれば、任意の高い次元のモジュライ空間を持つ多様体の例が存在する。

サイバーグ・ウィッテン不変量は、単純型の多様体 M に対し最も定義しやすい不変量である。この場合に、不変量は spin^c 構造 s から Z への写像で、s を符号を持つモジュライ空間の元の数へ対応する。

多様体 M が正のスカラー曲率と b₂⁺(M) ≥ 2 であれば、M のすべてのサイバーグ・ウィッテン不変量は 0 になる。

多様体 M が、b₂⁺ ≥ 1 を持つ 2つの多様体の連結和であれば、Mのすべてのサイバーグ・ウィッテン不変量は 0 となる。

多様体 M が単連結でシンプレクティック多様体で b₂⁺(M) ≥ 2 であれば、M はその上でサイバーグ・ウィッテン不変量が 1 であるような spin^c 構造 s を持つ。特に、M は b₂⁺ ≥ 1 である多様体の連結和へは分解できない。

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