シャピロの不等式

${\displaystyle n}$ を自然数、 ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}$ を非負の実数で、

${\displaystyle x_{i}+x_{i+1}>0\quad (i=1,2,\dots ,n)}$

であるとする。ただし、 ${\displaystyle x_{n+1}=x_{1},x_{n+2}=x_{2}}$ とする。このとき、

• ${\displaystyle n}$ が ${\displaystyle 12}$ 以下の偶数
• ${\displaystyle n}$ が ${\displaystyle 23}$ 以下の奇数

のいずれかであれば、次の不等式が成り立つ。

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {x_{i}}{x_{i+1}+x_{i+2}}}\geq {\frac {n}{2}}}$

より大きな ${\displaystyle n}$ に対しては不等式は成り立たないが、厳密な下限 ${\displaystyle \gamma {\frac {n}{2}}}$ が存在する。ここで ${\displaystyle \gamma \approx 0.9891\dots }$ 。

重要なケース ${\displaystyle n=12}$ の最初の証明は Godunova と Levin によって1976年に、もう一方の ${\displaystyle n=23}$ の最初の証明は Troesch によって1989年に、それぞれ数値計算に依った方法で与えられた。2002年、P.J. Bushell と J.B. McLeod は ${\displaystyle n=12}$ のときの解析的な証明を発表した。

${\displaystyle \gamma }$ の値は1971年にウラジーミル・ドリンフェルト（1990年のフィールズ賞受賞者）によって求められた。特に、ドリンフェルトは下限となる ${\displaystyle \gamma }$ が ${\displaystyle \psi (0)}$ で与えられることを示した。ここで ${\displaystyle \psi }$ は関数 ${\displaystyle f(x)=e^{-x}}$ と ${\displaystyle g(x)={\frac {2}{e^{x}+e^{\frac {x}{2}}}}}$ の関数的凸包である。(つまり、 ${\displaystyle \psi }$ のグラフの上側の部分は、 ${\displaystyle f}$ と ${\displaystyle g}$ のグラフの上側部分の合併の凸包になっている）。

左辺の、内部での極小値は常に ${\displaystyle \geq {\frac {n}{2}}}$ となることが1968年 Pedro Nowosad により証明された。

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最初の反例は、Lighthill によって1956年に発見された、 ${\displaystyle n=20}$ に対するものである：

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{20}=(&1+5\epsilon ,\ 6\epsilon ,\ 1+4\epsilon ,\ 5\epsilon ,\ 1+3\epsilon ,\ 4\epsilon ,\ 1+2\epsilon ,\ 3\epsilon ,\ 1+\epsilon ,\ 2\epsilon ,\ \\&1+2\epsilon ,\ \epsilon ,\ 1+3\epsilon ,\ 2\epsilon ,\ 1+4\epsilon ,\ 3\epsilon ,\ 1+5\epsilon ,\ 4\epsilon ,\ 1+6\epsilon ,\ 5\epsilon )\end{aligned}}}$

（ここで ${\displaystyle \epsilon }$ は 0 に極めて近いとする。）

このとき不等式の左辺は ${\displaystyle 10-\epsilon ^{2}+O(\epsilon ^{3})}$ となり、 ${\displaystyle \epsilon }$ が十分小さければ 10 より小さくなる。

次の反例は ${\displaystyle n=14}$ に対するもので、1985年 Troesch により与えられた：

${\displaystyle x_{14}=(0,42,2,42,4,41,5,39,4,38,2,38,0,40)}$

また、 ${\displaystyle n=25}$ に対して次の反例がある：

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{25}=(&32,0,37,0,43,0,50,0,59,8,62,21,55,\\&29,44,32,33,31,24,30,16,29,10,29,4)\end{aligned}}}$