シンツェルの定理

シンツェルは次の方法によって円を構成し、定理を証明した。nが偶数つまり整数kを用いてn = 2kと表せるとき、次の方程式で表される円は、ちょうどnつの格子点を通る^[1][2]。$${\displaystyle \left(x-{\frac {1}{2}}\right)^{2}+y^{2}={\frac {1}{4}}5^{k-1}.}$$半径は5^{k - 1/2}/2で中心は(1/2, 0)。例えば、k = 2としたとき、半径は√5/2で、格子点を4点のみ通る。

両辺に4をかけて式を変形すると、$${\displaystyle \left(2x-1\right)^{2}+(2y)^{2}=5^{k-1}.}$$ここで5^{k - 1}は奇数と偶数の2整数の平方和（英語版）である。5^{k - 1}を2つの整数の自乗の和として表す方法は、ちょうど2k通りあることが知られている。例えばk = 2ならば、5¹ = (± 1)² + (± 2)²であるので、通る格子点は(± 1, ± 2)（複号任意）に対応する4点となる。

nが奇数、つまり整数kを用いてn = 2k + 1と表されるときは、次の方程式で表される円がただn個の格子点を通る^[1][2]。$${\displaystyle \left(x-{\frac {1}{3}}\right)^{2}+y^{2}={\frac {1}{9}}5^{2k}.}$$半径は5^k/3で、中心は(1/3, 0)。

シンツェルの方法によって構成された円は、必ずしも条件を満たす最小の円であるとは限らない^[3]。しかし、明白に方程式を示すことができるという点で有用である^[2]。