ジョルダンの補題

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原点を中心とする上半平面にある正の半径Rの半円の経路で定義された複素数値の連続関数fを考える。

${\displaystyle C_{R}=\{Re^{i\theta }\mid \theta \in [0,\pi ]\}}$

aを正の数として、関数fが次の形式であるとする。

${\displaystyle f(z)=e^{iaz}g(z),\quad z\in C_{R}}$

このとき、ジョルダンの補題は、周回積分の次の上限を示す。

${\displaystyle \left|\int _{C_{R}}f(z)\,dz\right|\leq {\frac {\pi }{a}}M_{R}\quad {\text{where}}\quad M_{R}:=\max _{\theta \in [0,\pi ]}\left|g\left(Re^{i\theta }\right)\right|.}$

等号はgがすべてにおいてゼロとなるときに成り立ち、このとき両辺がゼロになる。下半平面の半円形の経路に関する同様の定理は、 a < 0の場合に当てはまる。

• fが大きなRの半円C_R上で連続であり、なおかつ

が成り立つとき、ジョルダンの補題より次が導かれる。

${\displaystyle \lim _{R\to \infty }\int _{C_{R}}f(z)\,dz=0.}$

• a = 0の場合については、推定補題を参照せよ。
• 推定補題と比較すると、ジョルダンの補題の上限は経路C_Rの長さに明示的に依存しない。

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ジョルダンの補題により、関数f(z) = e^iaz g(z)の実軸に沿った積分を計算する簡単な方法が与えられる。f(z)が上半平面で正則であり、閉じた上半平面で連続であるとき(ただし有限個の極z₁, z₂, …, z_nを除く)、画像に示されている経路C₁ C₂を連結した閉じた経路Cを考える。定義より、

${\displaystyle \oint _{C}f(z)\,dz=\int _{C_{1}}f(z)\,dz+\int _{C_{2}}f(z)\,dz\,.}$

C₂では変数zが実数であるため、2番目の積分は実積分である。

${\displaystyle \int _{C_{2}}f(z)\,dz=\int _{-R}^{R}f(x)\,dx\,.}$

左辺は、留数定理を使用して計算する。 |z₁| 、 |z₂| 、…、 |z_n| のすべてより大きいRについて以下が成り立つ。

${\displaystyle \oint _{C}f(z)\,dz=2\pi i\sum _{k=1}^{n}\operatorname {Res} (f,z_{k})\,,}$

Res(f, z_k)はfの特異点z_kについての留数を示す。 fが条件（ * ）を満たしている場合、 Rが無限大の極限では、C₁についての周回積分はジョルダンの補題によって消滅し、広義積分の値が以下のように得られる。

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=2\pi i\sum _{k=1}^{n}\operatorname {Res} (f,z_{k})\,.}$

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関数

${\displaystyle f(z)={\frac {e^{iz}}{1+z^{2}}},\qquad z\in {\mathbb {C} }\setminus \{i,-i\},}$

はR ≠ 1をみたすR > 0に対してa = 1でジョルダンの補題の条件を満たす。 R > 1の場合、

${\displaystyle M_{R}=\max _{\theta \in [0,\pi ]}{\frac {1}{|1+R^{2}e^{2i\theta }|}}={\frac {1}{R^{2}-1}}\,,}$

したがって、（ * ）が成り立つ。上半平面におけるfの唯一の特異点はz = iにあるため

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{ix}}{1+x^{2}}}\,dx=2\pi i\,\operatorname {Res} (f,i)\,.}$

z = iはfの単純な極であり、1 + z² = (z + i)(z − i)であるため、次のようになる。

${\displaystyle \operatorname {Res} (f,i)=\lim _{z\to i}(z-i)f(z)=\lim _{z\to i}{\frac {e^{iz}}{z+i}}={\frac {e^{-1}}{2i}}}$

そのため

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\cos x}{1+x^{2}}}\,dx=\operatorname {Re} \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{ix}}{1+x^{2}}}\,dx={\frac {\pi }{e}}\,.}$

この結果は、古典的な方法での計算が難しい積分のうち、一部が複素解析により簡単に求まることの例である。

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複素線積分の定義により、

${\displaystyle \int _{C_{R}}f(z)\,dz=\int _{0}^{\pi }g(Re^{i\theta })\,e^{iaR(\cos \theta +i\sin \theta )}\,iRe^{i\theta }\,d\theta =R\int _{0}^{\pi }g(Re^{i\theta })\,e^{aR(i\cos \theta -\sin \theta )}\,ie^{i\theta }\,d\theta \,.}$

不等式

${\displaystyle {\biggl |}\int _{a}^{b}f(x)\,dx{\biggr |}\leq \int _{a}^{b}\left|f(x)\right|\,dx}$

から

${\displaystyle I_{R}:={\biggl |}\int _{C_{R}}f(z)\,dz{\biggr |}\leq R\int _{0}^{\pi }{\bigl |}g(Re^{i\theta })\,e^{aR(i\cos \theta -\sin \theta )}\,ie^{i\theta }{\bigr |}\,d\theta =R\int _{0}^{\pi }{\bigl |}g(Re^{i\theta }){\bigr |}\,e^{-aR\sin \theta }\,d\theta \,.}$

（ * ）で定義されているM_Rと、正弦関数の対称性sin θ = sin(π – θ)から、次が導かれる。

${\displaystyle I_{R}\leq RM_{R}\int _{0}^{\pi }e^{-aR\sin \theta }\,d\theta =2RM_{R}\int _{0}^{\pi /2}e^{-aR\sin \theta }\,d\theta \,.}$

sin θのグラフは領域θ ∈ [0, π ⁄ 2]で凹関数なので、sin θのグラフは、それの端点を結んだ直線よりも上に来る。よってθ ∈ [0, π ⁄ 2]において

${\displaystyle \sin \theta \geq {\frac {2\theta }{\pi }}\quad }$

このことから

${\displaystyle I_{R}\leq 2RM_{R}\int _{0}^{\pi /2}e^{-2aR\theta /\pi }\,d\theta ={\frac {\pi }{a}}(1-e^{-aR})M_{R}\leq {\frac {\pi }{a}}M_{R}\,.}$