スチューデント化された範囲

スチューデント化された範囲（ほとんどの場合、変数qによって表わされる）の値は、数字のN(0, 1) 分布からの無作為標本x₁, ..., x_nと、全てのx_iと独立している別の確率変数sに基づいて定義することができる。νs²は自由度νのχ²分布を持つ。次に、

${\displaystyle q_{n,\nu }={\frac {\max\{\,x_{1},\ \dots ,\ x_{n}\,\}-\min\{\,x_{1},\ \dots ,\ x_{n}\}}{s}}=\max _{i,j=1,\dots ,n}\left\{{\frac {x_{i}-x_{j}}{s}}\right\}}$

はn個の群と自由度νについてのスチューデント化された範囲分布を持つ。応用上は、x_iは通常それぞれサイズmの標本の平均であり、s²は合併分散（英語版）、自由度はν = n(m − 1) である。

qの臨界値は3つの因子に基づく。

1. α（真である帰無仮説を棄却する確率）
2. n（観測あるいは群の数）
3. ν（標本分散を推定するために使われる自由度）

X₁, ..., X_nが独立同分布である正規分布した確率変数とすると、それらのスチューデント化された範囲の確率分布が通常「スチューデント化された範囲」と呼ばれるものである。ここで留意すべきは、qの定義が標本を抽出する分布の期待値あるいは標準偏差に依存せず、したがってその確率分布はそれらのパラメータによらず同じであるということである。