ストリッカーツ評価

シュレーディンガー方程式に対するストリッカーツ評価は、Robert_Strichartz^[2]が最初に与えた。オリジナルの論文では、d次元空間内のフーリエ変換を(d-1)次元(超)曲面上へ制限することで評価を得ている。その後、Ginibre--Velo^[3][4], Yajima^[5], Cazenave--Weissler^[6]らによって改良された。最後のピースである、所謂「端点評価」を証明したのはKeel--Tao^[7]である。端点評価は空間2次元において破綻するが、Taoはノルムを補正することで同様の評価が与えられることを示した^[8]。

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実数の組${\displaystyle (p,q)\in [2,\infty ]^{2}}$が許容指数対であるとは、次が成り立つことである： ${\displaystyle {\frac {2}{p}}+{\frac {d}{q}}={\frac {d}{2}}.}$ ただし、${\displaystyle (d,p,q)=(2,2,\infty )}$は除外する。

次の自由シュレーディンガー方程式を考える：

${\displaystyle i\partial _{t}u+\Delta u=0,\quad u(t,x):\mathbb {R} _{t,x}^{1+d}\to \mathbb {C} .}$

ここで${\displaystyle \Delta }$はラプラシアンである。初期値が${\displaystyle u(0)=u_{0}}$であれば、解は

${\displaystyle u(t,x)=e^{it\Delta }u_{0}={\mathcal {F}}^{-1}(e^{-it|\xi |^{2}}{\widehat {u_{0}}}(\xi ))}$

と書ける。このとき、ある定数${\displaystyle C_{0}>0}$があって、任意の許容指数対${\displaystyle (p,q),(p_{1},q_{1})}$に対して、次の不等式が成立する^[9]：

${\displaystyle \|e^{it\Delta }u_{0}\|_{L^{p}(\mathbb {R} _{t};L^{q}(\mathbb {R} _{x}^{d}))}\leq C_{0}\|u_{0}\|_{L^{2}(\mathbb {R} ^{d})},}$${\displaystyle {\Big \|}\int _{\mathbb {R} }e^{i(t-\tau )\Delta }u(\tau )d\tau {\Big \|}_{L^{p}(\mathbb {R} _{t};L^{q}(\mathbb {R} _{x}^{d}))}\leq C_{0}\|u\|_{L^{p_{1}'}(\mathbb {R} _{t};L^{q_{1}'}(\mathbb {R} _{x}^{d}))},}$ ${\displaystyle {\Big \|}\int _{0}^{t}e^{i(t-\tau )\Delta }u(\tau )d\tau {\Big \|}_{L^{p}(\mathbb {R} _{t};L^{q}(\mathbb {R} _{x}^{d}))}\leq C_{0}\|u\|_{L^{p_{1}'}(\mathbb {R} _{t};L^{q_{1}'}(\mathbb {R} _{x}^{d}))}.}$

ここで、${\displaystyle 1/p+1/p'=1}$である。

空間2次元の場合の端点指数${\displaystyle (d,p,q)=(2,2,\infty )}$は除かれていた。しかし、次のように右辺のノルム(=抑えるノルム)を弱めることで、同様の評価が成り立つ^[10]：

${\displaystyle \|e^{it\Delta }u_{0}\|_{L^{2}(\mathbb {R} _{t};X)}\leq C_{1}\|u_{0}\|_{L^{2}(\mathbb {R} ^{2})},}$

${\displaystyle {\Big \|}\int _{\mathbb {R} }e^{-i\tau \Delta }u(\tau )d\tau {\Big \|}_{L^{2}(\mathbb {R} ^{2})}\leq C_{1}\|u\|_{L^{2}(\mathbb {R} _{t};X')},}$

${\displaystyle {\Big \|}\int _{0}^{t}e^{i(t-\tau )\Delta }u(\tau )d\tau {\Big \|}_{L^{2}(\mathbb {R} _{t};X)}\leq C_{1}\|u\|_{L^{p_{1}'}(\mathbb {R} _{t};L^{q_{1}'}(\mathbb {R} _{x}^{d}))}.}$

ここで、${\displaystyle \|f\|_{X}:=\|f(r\theta )\|_{L_{r}^{\infty }L_{\theta }^{2}},\|f\|_{X'}:=\|f(r\theta )\|_{L_{r}^{1}L_{\theta }^{2}}}$である。また、${\displaystyle (p_{1},q_{1})}$は許容指数対である。特に、${\displaystyle u_{0}}$が球対称関数のとき、${\displaystyle X=L^{\infty }(\mathbb {R} ^{d})}$であることに注意せよ。

三角不等式と通常のストリッカーツ評価から、直ちに次のことが分かる。許容指数対${\displaystyle (p,q)}$と正規化されたL²関数の列${\displaystyle (u_{n})_{n=1}^{\infty }}$に対して、

${\displaystyle {\Big \|}\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}|e^{it\Delta }u_{n}|^{2}{\Big \|}_{L^{p/2}(\mathbb {R} _{t};L^{q/2}(\mathbb {R} _{x}^{d}))}\leq C_{0}\|a\|_{\ell ^{1}}.}$

が成り立つ。しかし実は、${\displaystyle (u_{n})_{n=1}^{\infty }}$が正規直交系である場合、不等式は次のように改良されることが知られている^[11][12]：${\displaystyle 1\leq q/2<(d+1)/(d-1)}$かつ${\displaystyle \alpha =2q/(q+1)}$とするとき、

${\displaystyle {\Big \|}\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}|e^{it\Delta }u_{n}|^{2}{\Big \|}_{L^{p/2}(\mathbb {R} _{t};L^{q/2}(\mathbb {R} _{x}^{d}))}\leq C_{d,p}\|a\|_{\ell ^{\alpha }}}$

が成り立つ。右辺のノルムが${\displaystyle \ell ^{1}}$から${\displaystyle \ell ^{\alpha },\alpha >1}$になっているところがポイントである。a<bのとき${\displaystyle \ell ^{a}\subset \ell ^{b}}$であることに注意せよ。