ゼルニケ多項式

動径部分は以下の直交関係を満たす^[7]。

${\displaystyle \int _{0}^{1}\rho {\sqrt {2n+2}}R_{n}^{m}(\rho )\,{\sqrt {2n'+2}}R_{n'}^{m}(\rho )\,d\rho =\delta _{n,n'}}$

偏角部分については、初等的な計算により、

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\cos(m\varphi )\cos(m'\varphi )\,d\varphi =\epsilon _{m}\pi \delta _{|m|,|m'|},}$

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\sin(m\varphi )\sin(m'\varphi )\,d\varphi =(-1)^{m+m'}\pi \delta _{|m|,|m'|};\quad m\neq 0,}$

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\cos(m\varphi )\sin(m'\varphi )\,d\varphi =0}$

ここで ${\displaystyle \epsilon _{m}}$ は ${\displaystyle m=0}$ のとき2、${\displaystyle m\neq 0}$ のとき1と定義される。これらより、単位円状でのゼルニケ多項式の直交性

${\displaystyle \int Z_{n}^{m}(\rho ,\varphi )Z_{n'}^{m'}(\rho ,\varphi )\,d^{2}r={\frac {\epsilon _{m}\pi }{2n+2}}\delta _{n,n'}\delta _{m,m'}}$

が導かれる。ここで ${\displaystyle d^{2}r=\rho \,d\rho \,d\varphi }$ であり ${\displaystyle n-m}$ と ${\displaystyle n'-m'}$ はいずれも偶数と仮定している。

x軸に関する軸対称性より、

${\displaystyle Z_{n}^{m}(\rho ,\varphi )=(-1)^{m}Z_{n}^{m}(\rho ,-\varphi )}$

原点に関する点対称性より、

${\displaystyle Z_{n}^{m}(\rho ,\varphi )=(-1)^{m}Z_{n}^{m}(\rho ,\varphi +\pi )}$

ここで、 ${\displaystyle n-m}$ は偶数であると仮定しているので、 ${\displaystyle (-1)^{m}}$ は ${\displaystyle (-1)^{n}}$ と書き換えることができる。動径多項式は、n,mに応じて偶関数または奇関数である。

${\displaystyle R_{n}^{m}(\rho )=(-1)^{n}R_{n}^{m}(-\rho )=(-1)^{m}R_{n}^{m}(-\rho )}$

三角関数の周期性より、原点を中心とした m 回回転対称性が生じる。

${\displaystyle Z_{n}^{m}\left(\rho ,\varphi +{\tfrac {2\pi k}{m}}\right)=Z_{n}^{m}(\rho ,\varphi ),\qquad k=0,\pm 1,\pm 2,\dots }$

動径多項式は、以下の漸化式を満たす^[8]。

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{n}^{m}(\rho )+R_{n-2}^{m}(\rho )=\rho \left[R_{n-1}^{\left|m-1\right|}(\rho )+R_{n-1}^{m+1}(\rho )\right]{\text{ .}}\end{aligned}}}$

動径多項式の定義より、${\displaystyle R_{m}^{m}(\rho )=\rho ^{m},\quad R_{m+2}^{m}(\rho )=((m+2)\rho ^{2}-(m+1))\rho ^{m}}$ である。これと、以下の三項間漸化式^[9] により、すべての ${\displaystyle R_{n}^{m}(\rho )}$ を計算することができる。

${\displaystyle R_{n}^{m}(\rho )={\frac {2(n-1)(2n(n-2)\rho ^{2}-m^{2}-n(n-2))R_{n-2}^{m}(\rho )-n(n+m-2)(n-m-2)R_{n-4}^{m}(\rho )}{(n+m)(n-m)(n-2)}}{\text{ .}}}$

この式より、動径多項式の導関数を、2つの動径多項式から計算することができる。

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\rho }}R_{n}^{m}(\rho )={\frac {(2nm(\rho ^{2}-1)+(n-m)(m+n(2\rho ^{2}-1)))R_{n}^{m}(\rho )-(n+m)(n-m)R_{n-2}^{m}(\rho )}{2n\rho (\rho ^{2}-1)}}{\text{ .}}}$

動径多項式は以下のような式となる。

${\displaystyle R_{0}^{0}(\rho )=1\,}$

${\displaystyle R_{1}^{1}(\rho )=\rho \,}$

${\displaystyle R_{2}^{0}(\rho )=2\rho ^{2}-1\,}$

${\displaystyle R_{2}^{2}(\rho )=\rho ^{2}\,}$

${\displaystyle R_{3}^{1}(\rho )=3\rho ^{3}-2\rho \,}$

${\displaystyle R_{3}^{3}(\rho )=\rho ^{3}\,}$

${\displaystyle R_{4}^{0}(\rho )=6\rho ^{4}-6\rho ^{2}+1\,}$

${\displaystyle R_{4}^{2}(\rho )=4\rho ^{4}-3\rho ^{2}\,}$

${\displaystyle R_{4}^{4}(\rho )=\rho ^{4}\,}$

${\displaystyle R_{5}^{1}(\rho )=10\rho ^{5}-12\rho ^{3}+3\rho \,}$

${\displaystyle R_{5}^{3}(\rho )=5\rho ^{5}-4\rho ^{3}\,}$

${\displaystyle R_{5}^{5}(\rho )=\rho ^{5}\,}$

${\displaystyle R_{6}^{0}(\rho )=20\rho ^{6}-30\rho ^{4}+12\rho ^{2}-1\,}$

${\displaystyle R_{6}^{2}(\rho )=15\rho ^{6}-20\rho ^{4}+6\rho ^{2}\,}$

${\displaystyle R_{6}^{4}(\rho )=6\rho ^{6}-5\rho ^{4}\,}$

${\displaystyle R_{6}^{6}(\rho )=\rho ^{6}\,}$

ゼルニケ多項式は以下のような式となる。なお、各式は

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{1}Z_{j}^{2}\,\rho \,d\rho \,d\theta =\pi }$

を満たすよう規格化されている。

	OSA/ANSI 指数 (${\displaystyle j}$)	Noll 指数 (${\displaystyle j}$)	Fringe 指数 (${\displaystyle j}$)	動径 次数 (${\displaystyle n}$)	偏角 次数 (${\displaystyle m}$)	${\displaystyle Z_{j}}$	名称
${\displaystyle Z_{0}^{0}}$	00	01	1	0	00	${\displaystyle 1}$	Piston
${\displaystyle Z_{1}^{-1}}$	01	03	3	1	−1	${\displaystyle 2\rho \sin \theta }$	Tilt (Y-Tilt, Vertical tilt)
${\displaystyle Z_{1}^{1}}$	02	02	2	1	+1	${\displaystyle 2\rho \cos \theta }$	Tip (X-Tilt, Horizontal tilt)
${\displaystyle Z_{2}^{-2}}$	03	05	6	2	−2	${\displaystyle {\sqrt {6}}\rho ^{2}\sin 2\theta }$	Oblique astigmatism
${\displaystyle Z_{2}^{0}}$	04	04	4	2	00	${\displaystyle {\sqrt {3}}(2\rho ^{2}-1)}$	Defocus
${\displaystyle Z_{2}^{2}}$	05	06	5	2	+2	${\displaystyle {\sqrt {6}}\rho ^{2}\cos 2\theta }$	Vertical astigmatism
${\displaystyle Z_{3}^{-3}}$	06	09	11	3	−3	${\displaystyle {\sqrt {8}}\rho ^{3}\sin 3\theta }$	Vertical trefoil
${\displaystyle Z_{3}^{-1}}$	07	07	8	3	−1	${\displaystyle {\sqrt {8}}(3\rho ^{3}-2\rho )\sin \theta }$	Vertical coma
${\displaystyle Z_{3}^{1}}$	08	08	7	3	+1	${\displaystyle {\sqrt {8}}(3\rho ^{3}-2\rho )\cos \theta }$	Horizontal coma
${\displaystyle Z_{3}^{3}}$	09	10	10	3	+3	${\displaystyle {\sqrt {8}}\rho ^{3}\cos 3\theta }$	Oblique trefoil
${\displaystyle Z_{4}^{-4}}$	10	15	18	4	−4	${\displaystyle {\sqrt {10}}\rho ^{4}\sin 4\theta }$	Oblique quadrafoil
${\displaystyle Z_{4}^{-2}}$	11	13	13	4	−2	${\displaystyle {\sqrt {10}}(4\rho ^{4}-3\rho ^{2})\sin 2\theta }$	Oblique secondary astigmatism
${\displaystyle Z_{4}^{0}}$	12	11	9	4	00	${\displaystyle {\sqrt {5}}(6\rho ^{4}-6\rho ^{2}+1)}$	Primary spherical
${\displaystyle Z_{4}^{2}}$	13	12	12	4	+2	${\displaystyle {\sqrt {10}}(4\rho ^{4}-3\rho ^{2})\cos 2\theta }$	Vertical secondary astigmatism
${\displaystyle Z_{4}^{4}}$	14	14	17	4	+4	${\displaystyle {\sqrt {10}}\rho ^{4}\cos 4\theta }$	Vertical quadrafoil