ダランベールの式

この偏微分方程式の特性曲線は x ± ct = (定数) である。したがって、変数変換 μ := x + ct, η := x − ct によりこの偏微分方程式を書き換えると、u_μη = 0 となる。この一般解は ${\displaystyle u(\mu ,\eta )=F(\mu )+G(\eta )}$ と表せる。ここで F と G は C¹ 級関数である。x, t 座標に戻すと次のようになる。

${\displaystyle (*)\quad u(x,t)=F(x+ct)+G(x-ct)}$

（関数 F と G が C² 級なら、u も C² 級となる。）

この解 u は、一定速度 c によって x 軸に沿って反対方向に進む二つの波と解釈できる。

今、コーシーデータ ${\displaystyle u(x,0)=g(x)}$、${\displaystyle u_{t}(x,0)=h(x)}$ に対する解を考える。${\displaystyle u(x,0)=g(x)}$ より、${\displaystyle F(x)+G(x)=g(x)}$ が得られる。${\displaystyle u_{t}(x,0)=h(x)}$ より、${\displaystyle cF'(x)-cG'(x)=h(x)}$ が得られる。この二つ目の式を積分すると、次が得られる。

${\displaystyle cF(x)-cG(x)=\int _{-\infty }^{x}h(\xi )\,d\xi +c_{1}.}$

この系を解くことで、次が得られる。

${\displaystyle {\begin{aligned}F(x)&={\frac {-1}{2c}}\left[-cg(x)-\left(\int _{-\infty }^{x}h(\xi )\,d\xi +c_{1}\right)\right],\\G(x)&={\frac {-1}{2c}}\left[-cg(x)+\left(\int _{-\infty }^{x}h(\xi )\,d\xi +c_{1}\right)\right].\end{aligned}}}$

ここで上述の式 (∗) より、次のダランベールの式が得られる：

${\displaystyle u(x,t)={\frac {1}{2}}\left[g(x-ct)+g(x+ct)\right]+{\frac {1}{2c}}\int _{x-ct}^{x+ct}h(\xi )\,d\xi .}$